Matematika | Analízis » Chmelik Gábor - Kaotikus differenciálegyenletek

http://www.doksihu Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kaotikus Differenciálegyenletek Szakdolgozat Chmelik Gábor Matematika B.Sc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Simon L. Péter, egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás 2 Bevezetés 3 1. Differenciálegyenletek 4 1.1 Az alapok 4 1.2 Autonóm differenciálegyenletek 5 1.21 Nemlineáris rendszerek lokális vizsgálata 6 1.22 Nemlineáris rendszerek globális vizsgálata 11 2. Dinamikai rendszerek 14 2.1 Dinamikai rendszerek elmélete 14 2.2 Kaotikusság 19 2.3 A bifurkációelmélet elemei 22 3. A Lorenz-rendszer 27 3.1 Egyensúlyi pontok és stabilitásuk 28 3.2 A rendszer globális viselkedése

30 4. A Rössler-rendszer 34 4.1 Egyensúlyi pontok és stabilitásuk 34 4.2 A rendszer globális viselkedése 37 Összefoglalás 39 Irodalomjegyzék 40 Nyilatkozat 41 1 http://www.doksihu Köszönetnyilvánítás „A szeretet soha meg nem szűnik. A prófétálások véget érnek, a nyelvek megszűnnek, a tudomány elenyészik.” (1 Kor 13,8) Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Simon Péternek, aki figyelmembe ajánlotta e nagyszerű témát. Sok segítséget és hasznos tanácsot kaptam tőle, és dolgozatom lektorálásáért is hálás vagyok neki. Szeretném kifejezni köszönetemet továbbá a családomnak, akiknek mindig töretlen támogatását élveztem tanulmányaim során. Köszönet illeti barátaimat, akik mindig mellettem álltak. Bíztatásuk és lelki támogatásuk nélkül e dolgozat nem születhetett volna meg Hálás vagyok minden mosolyért, minden jó szóért, a

kritikákért és minden segítségért! 2 http://www.doksihu Bevezetés Naprendszerünk mozgása, Földünk időjárása, az emberi szív és agy elektromos tevékenysége, egyes folyadékáramlások, gazdasági folyamatok, populációk egyedszámának változása, és még hosszan sorolhatnánk, hosszú távon mind kaotikus viselkedést mutatnak. Ezeket a folyamatokat és jelenségeket differenciálegyenletek és dinamikai rendszerek segítségével modellezzük. Manapság már nagyon pontos méréseket tudunk végezni, kiváló modelljeink vannak, de ezeknek a rendszereknek a hosszú távú viselkedését mégsem tudjuk előre meghatározni. Mi lehet ennek az oka? Mit tudunk elmondani ezekről a rendszerekről? Mit jelent a káosz? Ebben a dolgozatban ezekre a kérdésekre keressük a választ. Az első fejezetben a modellek vizsgálatához szükséges differenciálegyenletekkel és dinamikai rendszerekkel kapcsolatos definíciókat és tételeket találjuk, amelyek nagyrészt

Simon Péter és Buczolich Zoltán előadásain hangzottak el, valamint megtalálhatók a [2] illetve [3] könyvekben. A második és harmadik fejezetben bemutatott modellek, és az ezekkel kapcsolatos állítások forrása részben az [1] cikk, részben a [3] és [4] könyv. Ezekben a fejezetekben azonban találhatók olyan számítások és állítások, amelyek részletességük miatt nincsenek leírva az említett forrásokban. A dolgozatban felhasználásra kerültek továbbá a [6] portál oldalai, melyek a témában való tájékozódást segítették elő Az [5] könyv nem a leírtak forrása, hiszen fizikusok számára íródott, hanem egy olyan mű, amely hasznos a fizikai szemléletmód kialakításában. Segítségével átfogó képet kaphatunk arról, hogy a bemutatott kaotikus modellek mit jelentenek a valóságban. 3 http://www.doksihu 1. fejezet Differenciálegyenletek Ebben a fejezetben áttekintjük a differenciálegyenletekkel és dinamikai rendszerekkel

kapcsolatos legfontosabb definíciókat és tételeket, amelyek ahhoz szükségesek, hogy megvizsgálhassuk a kaotikus modellek lokális és globális viselkedését. Az itt található állítások nagy részét nem bizonyítjuk, mert a dolgozat keretei ezt nem teszik lehetővé. A megadott forrásokban minden bizonyítás megtalálható 1.1 Az alapok Tekintsük az ẋ(t) = f (t, x(t)) (1.1) differenciálegyenletet. Legyen t0 ∈ I ⊂ R, q0 ∈ Rn Az (11) egyenlet egy x(t) megoldása teljesíti az x(t0 ) = q0 kezdeti feltételt, ha átmegy a (t0 , q0 ) ponton. 1. Tétel Adott t0 , q0 esetén egyértelműen létezik az (11) egyenletnek olyan megoldása, amelyre az x(t0 ) = q0 kezdeti feltétel teljesül Az (1.1) egyenlet megoldását globálisan egyértelműnek fogjuk nevezni, ha minden ponton keresztül csak egy megoldás halad Lokálisan egyértelműnek akkor nevezzük a megoldást, ha az egy ponton áthaladó megoldások a pont egy környezetében egybeesnek. Jogosan merül

fel a kérdés, hogy mikor lesz egy egyenlet megoldása globálisan vagy lokálisan egyértelmű? Ezt tudjuk meg az alábbi tételből. 4 http://www.doksihu 1. Definíció (Lipschitz-feltétel) Egy f : Rn Rn függvény teljesíti a Lipschitzfeltételt, ha ∃L > 0 : |f (x) − f (y)| ≤ L · |x − y| ∀x, y ∈ Rn . Egy f : Rn Rn függvény lokálisan Lipschitz-tulajdonságú a q pontban, ha ∃L > 0, δ > 0 : |f (x) − f (y)| ≤ L · |x − y| ∀x, y ∈ B(q, δ). 2. Tétel Az (11) egyenlet megoldása globálisan egyértelmű, ha f rendelkezik a Lipschitz-tulajdonsággal. 1.2 Autonóm differenciálegyenletek Legyen M ⊂ Rn tartomány, f : M Rn adott, lokálisan Lipschitz-tulajdonságú függvény. A továbbiakban az ẋ(t) = f (x(t)) (1.2) x(t0 ) = q0 differenciálegyenletet fogjuk vizsgálni. Ennek az egyenletnek ∀t0 ∈ R, ∀q0 ∈ M esetén létezik a kezdeti feltételt kielégítő x(t) = ϕ(t, t0 , q0 ) megoldása az I(t0 , q0 ) intervallumon.

Ez a megoldás eltolás invariáns, azaz ha x(t) megoldása az egyenletnek, akkor ∀τ ∈ R esetén y(t) = x(t + τ ) is megoldás, ugyanis ẏ(t) = ẋ(t + τ ) = f (x(t + τ )) = f (y(t)). Ezek után elég csak a t0 = 0 időpontban a különböző q ∈ M pontokból induló megoldásokat ismerni, ugyanis a többi megoldás ezekből eltolással adódik. Ezért a továbbiakban legyen ϕ(t, q) = ϕ(t, 0, q), illetve I(q) = I(0, q). 1. Állítás Az (12) differenciálegyenlet megoldására fennáll a csoport-tulajdonság, azaz ϕ(t + s, q) = ϕ(t, ϕ(s, q)), ahol q ∈ M , t, s ∈ R, melyre t, s, t + s ∈ I(q). Bizonyítás. Mindkét oldal megoldás ugyanarra a differenciálegyenletre (mint t függvénye). A t = 0 pontban az egyenlet jobb és bal oldala is ϕ(s, q)-val egyenlő, és a differenciálegyenletek megoldásainak egyértelműsége miatt ezek egyenlők. 5  http://www.doksihu 2. Definíció Tetszőleges q ∈ M pont esetén a {ϕ(t, q) : t ∈ I(q)} Rn -beli görbét a q

pont pályájának vagy trajektóriájának nevezzük. A pályát periodikusnak nevezzük, ha ϕ(0, q) = ϕ(t, q) valamely t ∈ I(q)-ra. Fontos megemlíteni, hogy az egzisztencia- és unicitás tétel miatt az autonóm rendszerek pályái nem metszik egymást, és lefedik az egész M halmazt. 3. Definíció Egy p pont periodikus pont, ha ϕ(t, p) = p valamely 0 < t ∈ R-re 4. Definíció Egy x0 pont egyensúlyi pont, ha ϕ(t, x0 ) = x0 1.21 ∀t ∈ R. Nemlineáris rendszerek lokális vizsgálata Ebben a részben a háromdimenziós rendszerek egyensúlyi pontjainak stabilitására vonatkozó definíciókat és tételeket mutatunk be. Egyensúlyi pontok vizsgálata linearizációval A következőkben megmutatjuk, hogy az (1.2) egyenlet lokális viselkedése az x0 hiperbolikus egyensúlyi pontjai körül azonos az ẋ = Ax (1.3) lineáris rendszer viselkedésével, ahol az A Jacobi-mátrix a következő: A = f 0 (x0 ). Az Ax = f 0 (x0 )x lineáris függvényt az f x0 körüli

lineáris részének nevezzük. 5. Definíció Egy x0 egyensúlyi pontot hiperbolikusnak nevezünk, ha az f 0 (x0 ) mátrix egy sajátértékének valós része sem 0. Az (1.3) lineáris rendszert az (12) egyenlet linearizációjának nevezzük az x0 pont körül. Ha az x0 = 0 egyensúlyi pontja az (12) egyenletnek, akkor f (0) = 0, és Taylor tétele alapján 1 f (x) = f 0 (0)x + f 00 (0)(x, x) + . 2 0 Ebből következik, hogy az f (0)x lineáris függvény egy jó első közelítése a nemlineáris f (x) függvénynek az x = 0 pontban. Így jogosan várjuk, hogy a linearizáció viselkedése az x = 0 pont körül megközelíti az (1.2) nemlineáris egyenlet viselkedését Megjegyezzük, hogy ha x0 az (1.2) egyenlet egyensúlyi pontja, és ϕt (q) = ϕ(t, q) a megoldása, akkor ϕt (x0 ) = x0 ∀t ∈ R. Ekkor x0 -t a megoldás fixpontjának nevezzük 6 http://www.doksihu 6. Definíció Két autonóm differenciálegyenlet topologikusan ekvivalens egymással (vagy ugyanolyan

kvalitatív struktúrával rendelkezik) az origó egy környezetében, ha létezik egy olyan H : U V homeomorfizmus (U, V az origót tartalmazó nyílt halmazok), amely a pályákat az irányítás megtartásával egymásba képezi. Ha H az idő paraméterezését megtartja, akkor a két rendszer topologikusan konjugált egymással az origó egy környezetében. 3. Tétel (Hartman–Grobman-tétel) Legyen E ⊂ Rn az origót tartalmazó nyílt halmaz, f ∈ C 1 (E), ϕt (q) az (1.2) egyenlet megoldása Tegyük fel, hogy f (0) = 0, és az A = f 0 (0) mátrixnak nincs 0 valós részű sajátértéke. Ekkor az (12) rendszer az x0 egyensúlyi pontban és az (1.3) rendszer az origóban lokálisan topologikusan konjugáltak egymással, azaz létezik az x0 -nak olyan U ⊂ Rn környezete, az origónak olyan V ⊂ Rn környezete és olyan H : U V homeomorfizmus, melyre H ◦ ϕt (x0 ) = eAt H(x0 ), minden x0 ∈ U és minden olyan t ∈ R esetén, melyre ϕt (x0 ) ∈ U . Ez azt jelenti,

hogy a várakozásunknak megfelelően az eredeti autonóm egyenlet egyensúlyi pont körüli viselkedése megegyezik a linearizált rendszer origó körül tapasztalható viselkedésével. Tehát az egyensúlyi pont típusa és stabilitása megegyezik a linearizált rendszer origójának típusával és stabilitásával A továbbiakban tehát az (1.3) egyenlet stabilitását vizsgálva következtetéseket vonhatunk le az (12) egyenlet stabilitására nézve. 7. Definíció Az (12) egyenlet egy x0 egyensúlyi pontját nyelőnek nevezzük, ha az A mátrix minden sajátértékének valós része negatív, forrásnak nevezzük, ha A minden sajátértékének valós része pozitív, és nyeregnek hívjuk, ha x0 hiperbolikus egyensúlyi pont, és az A mátrix legalább egy sajátértékének valós része pozitív, és egy sajátértékének valós része negatív. 8. Definíció Az x0 egyensúlyi pont 1. stabil, ha ∀ε > 0 ∃δ > 0 |q − x0 | < δ =⇒ |ϕ(t, q) − x0 | <

ε ∀t ≥ 0 2. aszimptotikusan stabil, ha stabil, és lim ϕ(t, q) = x0 t∞ 3. instabil, ha nem stabil 7 http://www.doksihu Az egyensúlyi pont stabilitásának eldöntése általában nehéz feladat, csak igen kevés jól alkalmazható állítást tudunk ezzel kapcsolatban kimondani. Látni fogjuk, hogy a rendszer stabilitása az A mátrix sajátértékeivel függ össze. 1. Lemma Ha az A mátrixnak van 1. nem negatív valós részű sajátértéke, akkor az (13) rendszer nem aszimptotikusan stabil 2. pozitív valós részű sajátértéke, akkor az (13) rendszer instabil 3. olyan 0 valós részű sajátértéke, ami a minimál polinomnak többszörös gyöke, akkor az (1.3) rendszer instabil 4. Tétel Az (13) rendszer pontosan akkor aszimptotikusan stabil, ha A minden λ sajátértékére Re(λ) < 0. 5. Tétel Az (13) rendszer pontosan akkor stabil, ha A minden λ sajátértékére Re(λ) ≤ 0, és Re(λ) = 0 esetén λ multiplicitása a minimál polinomban 1. A

gyakorlatban a sajátértékek kiszámítása nagy méretű mátrixok esetén igen nehéz feladat lehet, ráadásul értékük a stabilitásvizsgálat szempontjából indifferens, csupán a valós rész előjele számít. Annak eldöntésére, hogy az A mátrix sajátértékeinek valós része negatív, az alábbi tétel a sajátértékek kiszámítása nélkül, kizárólag a karakterisztikus polinom vizsgálatával, remek feltételt ad. 6. Tétel (Routh–Hurwitz-kritérium) Legyen N ∈ N, a0 , , aN −1 ∈ R, és tekintsük a k(x) = xN + aN −1 xN −1 + · · · + a1 x + a0 valós együtthatós polinomot A k polinom minden gyökének valós része pontosan  aN −1 1 0 ···  aN −3 aN −2 aN −1 1   . . . .  0 0  . . .  . . . .  .  . . .  . .  . 0 0 akkor negatív, ha az  ··· ··· 0  0 ··· 0  . . . .   . . . 0    a0 a1 a2  · · · · · · 0 a0 ··· N × N -es mátrix ∆i

aldeterminánsai minden i-re pozitívak. 8 http://www.doksihu Egyensúlyi pontok vizsgálata a Ljapunov-függvény módszerrel Vannak esetek, amikor a linearizálás nem vezet eredményre, és az egyensúlyi pontok stabilitását nem tudjuk megállapítani. Ekkor hívjuk segítségül Ljapunov módszerét Ehhez először szükségünk lesz egy megfelelő segédfüggvényre (V ), amelyre az igaz, hogy 1. a függvényérték változásából eldönthető legyen, hogy a ϕ(t, q) megoldás közeledik-e az egyensúlyi ponthoz, illetve 2. a függvény monotonitása a trajektóriák mentén eldönthető legyen a megoldások kiszámítása nélkül Az elsőhöz elegendő azt tudni, hogy az egyensúlyi pont minimumhelye-e a V függvénynek. A második feltételhez több mindenre is szükségünk van: 9. Definíció A V ∈ C 1 (M, R) Ljapunov függvény deriváltja az (12) rendszer szerint az alábbi függvény: Lf V = hV 0 , f i azaz (Lf V )(q) = hV 0 (q), f (q)i, (q ∈ M ). Ezt nevezik

a V függvény f -szerinti Lie-deriváltjának. 2. Lemma Legyen x az (12) egyenlet egy megoldása Ekkor a V ∗ (t) = V ◦ x függvényre V̇ ∗ (t) = (Lf V )(x(t)) (t ∈ D(x)). Bizonyítás. A láncszabályt alkalmazva: V̇ ∗ (t) = hV 0 (x(t)), ẋ(t)i = hV 0 (x(t)), f (x(t))i = (Lf V )(x(t)).  Tehát azt, hogy a megoldások mentén a V függvény értéke növekszik, vagy csökken, az Lf V függvény előjele fogja megmutatni. Egy speciális eset, amikor a V függvény értéke a megoldások mentén állandó. 10. Definíció A V ∈ C 1 (M, R) függvényt az (12) rendszer első integráljának nevezzük, ha Lf V ≡ 0. Az eddigiek segítségével már megfogalmazhatunk néhány tételt az egyensúlyi pontok stabilitására. 9 http://www.doksihu 7. Tétel (Ljapunov stabilitási tétele) Ha megadható az x0 ∈ M egyensúlyi pont valamely nyílt U ⊂ M környezetében olyan V : U R folytonosan differenciálható függvény, melyre 1. V (x0 ) < V (q) minden q ∈ U {x0

} pontban, és 2. (Lf V )(q) ≤ 0 minden q ∈ U {x0 } pontban, akkor az x0 egyensúlyi pont stabil. Ha (Lf V )(q) < 0 minden q ∈ U {x0 } pontban, akkor az x0 egyensúlyi pont aszimptotikusan stabil. 8. Tétel (Ljapunov instabilitási tétele) Ha az x0 egyensúlyi pont valamely nyílt U ⊂ M környezetében megadható olyan V : U R folytonosan differenciálható függvény, melyre 1. x0 nem lokális minimumhelye a V függvénynek, és 2. (Lf V )(q) < 0 minden q ∈ U {x0 } pontban, akkor az x0 egyensúlyi pont instabil. 9. Tétel (Barbasin–Kraszovszkij-tétel) Ha megadható az x0 ∈ M egyensúlyi pont valamely U ⊂ M környezetében olyan V : U R folytonosan differenciálható függvény, melyre 1. V (x0 ) < V (q) minden q ∈ U {x0 } pontban, 2. (Lf V )(q) ≤ 0 minden q ∈ U {x0 } pontban, és 3. a ϕ(t, x0 ) megoldáson kívül az U halmazban nem halad más olyan teljes megoldásgörbe, melynek mentén V értéke állandó, akkor az x0 egyensúlyi pont

aszimptotikusan stabil. Egy megfelelően választott V függvény segítségével tehát az egyensúlyi pont stabilitását könnyen meg tudjuk határozni. A módszerrel azonban az a baj, hogy általában igen nehéz Ljapunov-függvényt találni. 10 http://www.doksihu 1.22 Nemlineáris rendszerek globális vizsgálata Az előző részben láttuk, hogy hogyan vizsgálhatjuk meg a legegyszerűbb struktúrával rendelkező pályákat, azaz az egyensúlyi pontokat. Emellett nagyon fontos megvizsgálnunk a nemlineáris rendszerek periodikus pályáit is. Mivel ezek globális objektumok, ezért megtalálásuk és vizsgálatuk is nehezebb, mint az egyensúlyi pontok esetében. Megmutatjuk, hogy a Poincaré-leképezés segítségével nemcsak megtalálhatjuk, hanem meg is vizsgálhatjuk a periodikus pályákat A Poincaré-leképezés 2. Állítás Legyen f : Rn Rn , ẋ(t) = f (x(t)), γ : [0, T ] Rn periodikus megoldás, Γ = {γ(t) : t ∈ [0, T ]} a periodikus megoldás pályája,

p ∈ Γ periodikus pont. Legyen továbbá L ⊂ Rn egy n−1 dimenziós hipersík p-n keresztül Ekkor létezik p-nek olyan Σ ⊂ L környezete, melyből a pályák visszatérnek L-be. 11. Definíció Ha hf (q), f (p)i > 0 ∀q ∈ Σ, akkor Σ-t transzverzális metszetnek nevezzük. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a transzverzális metszet egy olyan hipersík, amelyen minden pálya azonos irányban halad át. A Poincaré-leképezést egy megfelelően választott transzverzális metszeten fogjuk értelmezni úgy, hogy egy adott ponthoz Σ azon pontját rendeljük hozzá, amelybe a pont pályája először viszszatér. 12. Definíció A θ : Σ R függvényt, melyre ϕ(θ(q), q) ∈ L ∀q ∈ Σ, a q pont visszatérési idő függvényének nevezzük. 13. Definíció (A Poincaré-leképezés) Ha Σ transzverzális metszet, θ a visszatérési idő függvény, akkor a P : Σ L, P (q) = ϕ(θ(q), q) leképezést a Σ-hoz tartozó Poincaré-leképezésnek nevezzük. A

Poincaré-leképezés segítségével megtalálhatjuk a periodikus pályákat. Ugyanis, ha a p pont a leképezés fixpontja, vagyis P (p) = p, akkor a p pontból induló megoldás T idő alatt visszatér a p pontba, azaz a p periodikus pont. Így fennáll az alábbi állítás 11 http://www.doksihu 3. Állítás A p pont pontosan akkor periodikus, ha a Poincaré-leképezésnek fixpontja, vagyis P (p) = p Mivel differenciálegyenletekről beszélünk, ezért azt kell mondanunk, hogy általában a ϕ függvényt, és ezzel a Poincaré-leképezést nem tudjuk képlettel megadni. A fixpontok, és ezzel együtt a periodikus pályák megtalálása tehát sokkal nehezebb feladat, mint az egyensúlyi pontok megtalálása. Ilyenkor csak a következőt mondhatjuk el a periodikus pályákról 14. Definíció Egy K ⊂ M halmazt pozitívan invariánsnak nevezünk, ha ∀t ∈ R-re, és ∀q ∈ K-ra ϕ(t, q) ∈ K. 10. Tétel (Gyenge Poincaré–Bendixson-tétel) Ha K ⊂ M olyan pozitívan

invariáns, korlátos és zárt halmaz, amelyben nincs egyensúlyi pont, akkor a K halmazban van periodikus pálya. Ha analitikus módon ezeket a periodikus pályákat nem tudjuk megtalálni, kénytelenek vagyunk a numerikus analízis eszköztárát bevetni az ügy érdekében, és számítógépes módszerekkel meghatározni azokat. A periodikus pályák stabilitása Periodikus pályák stabilitásvizsgálatánál nem használhatjuk ugyanazokat a stabilitási definíciókat, amiket az egyensúlyi pontok esetében alkalmaztunk. Itt nem a megoldás jellemzőit vizsgáljuk, hanem az adott pálya viselkedését. Vagyis azt, hogy a periodikus pályához közeli pontból indított pálya a periodikus pálya közelében marad-e. Erre vezették be az orbitális stabilitás fogalmát 15. Definíció Legyen p ∈ M periodikus pont T periódussal (ϕ(T, p) = p), és legyen γ(t) = ϕ(t, p), Γ = {γ(t) : t ∈ [0, T ]}. A q ∈ M pont Γ pályától vett távolsága legyen: d(q, Γ) = inf{kq −

γ(t)k : t ∈ [0, T ]}. A Γ pálya orbitálisan 1. stabil, ha ∀ε > 0 ∃δ > 0 : d(q, Γ) < δ =⇒ d(ϕ(t, q), Γ) < ε, és t ≥ 0 2. aszimptotikusan stabil, ha orbitálisan stabil és lim d(ϕ(t, q), Γ) = 0 t∞ 3. instabil, ha nem orbitálisan stabil 12 http://www.doksihu A kérdés már csak az, hogy ezen új fogalmak birtokában hogyan határozhatjuk meg egy periodikus pálya stabilitását? Ismét a Poincaré-leképezést fogjuk használni. Tekintsük most a P : Σ L leképezés iterációit. Ez egy diszkrét idejű dinamikai rendszert definiál a következőképpen: ψ : Z × L L, ψ(n, q) = P n (q) = P (P (. P (q)) ), n ∈ Z, q ∈ L | {z } n Erről nyilvánvaló, hogy ψ(0, q) = q, és ψ(n, ψ(m, q)) = ψ(n + m, q). Azt szeretnénk, hogy ha P n (q) − p, akkor Γ orbitálisan aszimptotikusan stabil, azaz stabil határn∞ ciklus. 16. Definíció A Poincaré-leképezés p fixpontját (P (p) = p) stabilnak nevezzük, ha ∀ε > 0 ∃δ

> 0 : |q − p| < δ és n ∈ N esetén |P n (q) − p| < ε. A p fixpont aszimptotikusan stabil, ha stabil, és |q − p| < δ esetén lim P n (q) = p. A p pont n∞ instabil, ha nem stabil. 11. Tétel Ha a P 0 (p) mátrix minden sajátértéke 1-nél kisebb abszolút értékű, akkor a p fixpont aszimptotikusan stabil. Ezen felül a fixpont stabilitásának meghatározására a korábbiakban lineáris rendszerekre már láttunk módszereket, amik sok esetben itt is alkalmazhatók. A következő tétel kapcsolatot teremt a Poincaré-leképezés fixpontjai és a Γ pálya stabilitása között. 12. Tétel Ha p instabil, stabil, illetve aszimptotikusan stabil fixpontja a P Poincaréleképezésnek, akkor Γ rendre orbitálisan instabil, stabil, illetve stabil határciklus Megjegyezzük, hogy a periodikus pályák stabilitásának vizsgálata 2-nél magasabb dimenzióban analitikus módszerekkel vagy igen nehezen, vagy sehogyan sem kivitelezhető. Szükségszerű tehát,

hogy a későbbiekben numerikus számításokra és becslésekre támaszkodjuk a kaotikus modellek vizsgálatánál. Mivel a nemlineáris differenciálegyenletek egyensúlyi pontjainak és pályáinak vizsgálata meglehetősen nehézkes, megpróbálunk könnyíteni rajta egy kicsit. Ehhez fogjuk segítségül hívni a dinamikai rendszerek elméletét. Ez a lépés abból nyeri létjogosultságát, hogy számunkra egy nemlineáris differenciálegyenlet és egy dinamikai rendszer a közük lévő már felvázolt összefüggések miatt azonosnak tekinthető. 13 http://www.doksihu 2. fejezet Dinamikai rendszerek A dinamikai rendszerek valamilyen determinisztikus folyamat modelljei, amelyek a folyamat állapotainak meghatározott szabályok szerinti változásait írják le az állapottérben. Egy autonóm differenciálegyenlet megoldásai dinamikai rendszert határoznak meg, melynek pályái megegyeznek a differenciálegyenlet pályáival. 2.1 Dinamikai rendszerek elmélete 17.

Definíció Legyen M ⊂ Rn tartomány A ϕ : R × M M folytonos függvényt dinamikai rendszernek nevezzük az M fázistérben, ha rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: 1. ϕ(0, q) = q minden q ∈ M esetén, 2. ϕ(t, ϕ(s, q)) = ϕ(t + s, q) minden q ∈ M és t, s ∈ R esetén A ϕ(t, q) függvény azt jelenti, hogy a q pontból indítva a rendszer milyen állapotba kerül t idő elteltével. A dinamikai rendszerek tárgyalásához nyilvánvaló módon meg kell változtatnunk az autonóm differenciálegyenletekre érvényes definíciókat. 18. Definíció Legyen q ∈ M tetszőleges pont A {ϕ(t, q) : t ∈ R} görbét a q pont pályájának vagy trajektóriájának nevezzük. 19. Definíció Az x0 ∈ M pont egyensúlyi pont, ha ϕ(t, x0 ) = x0 minden t ∈ R esetén. A p ∈ M pontot periodikus pontnak nevezzük, ha létezik 0 < T ∈ R, hogy 14 http://www.doksihu minden t ∈ R esetén ϕ(t, p) = ϕ(t + T, p). Ekkor T -t, ha minimális, alapperiódusnak nevezzük. A

periodikus pont pályáját periodikus pályának nevezzük 4. Állítás Periodikus pont pályájának minden pontja ugyanakkora alapperiódussal periodikus. 13. Tétel Ha a p ∈ M pont pályája metszi önmagát, vagyis ϕ(t, p) = ϕ(t + T, p), akkor p vagy egyensúlyi pont, vagy periodikus pont. Szimbolikus dinamika A ϕ diszkrét dinamikai rendszer viselkedését szeretnénk valamilyen formában modellezni, illetőleg kódolni. Erre ad lehetőséget számunkra a szimbolikus dinamika Lényegében az történik, hogy a ϕ(0, q) dinamikai rendszer korlátos pályáit egyenként lekódoljuk valamilyen S leképezéssel egy irányba végtelen 0-1 sorozatokká úgy, hogy az egymáshoz kezdetben közel levő pályák kódjai is kezdetben közel legyenek egymáshoz. Lássuk, hogy e ködös heurisztikát miképpen valósíthatjuk meg 20. Definíció Legyen M ⊂ Rn tartomány A ϕ : Z × M M leképezést diszkrét dinamikai rendszernek nevezzük, ha létezik egy olyan f diffeomorfizmus,

azaz differenciálható bijektív leképezés, melyre ϕ(k, q) = f k (q), ahol f k (q) jelöli az f leképezés k-adik iteráltját a q pontban (k ∈ Z). 21. Definíció Az f leképezés egy p pontját k-periodikusnak nevezzük, ha f k (p) = p A legkisebb ilyen k-t alapperiódusnak nevezzük. 22. Definíció Legyen ΩR 2 = {s = (s0 , s1 , . ) : sj ∈ {0, 1}} az egy irányba végtelen 0-1 sorozatok tere. ΩR 2 -en a metrikát, azaz s = (s0 , s1 , . ) és t = (t0 , t1 , ) távolságát a következőképpen definiáljuk: 23. Definíció Legyen d(s, t) = ∞ P |si −ti | i=0 2i . Ekkor az igaz, hogy ha |si − ti | ≤ 1 =⇒ d(s, t) ≤ ∞ P 1 i=0 2i . 14. Tétel ΩR 2 -en a d távolságdefiníció metrikát alkot, azaz 15 http://www.doksihu 1. ∀s, t-re d(s, t) ≥ 0, és d(s, t) = 0 ⇐⇒ s = t 2. ∀s, t-re d(s, t) = d(t, s) 3. ∀s, t-re d(s, t) ≤ d(s, v) + d(v, t) Ekkor, ha két pálya kezdetben közel van egymáshoz, akkor a pályák kódjai is közel

vannak egymáshoz, és ez visszafelé ugyanígy igaz. Ezt a következő állításban fogalmazzuk meg. 5. Állítás Legyen s, t ∈ ΩR 2 . Ekkor, 1. ha si = ti ∀i = 0, 1, , n-re =⇒ d(s, t) ≤ 2. ha d(s, t) < 1 2n 1 . 2n =⇒ si = ti ∀i ≤ n-re. Ezzel létrehoztuk az ΩR 2 metrikus teret. Szükségünk lesz továbbá egy transzformációra, amely biztosítja számunkra a dinamikát R 24. Definíció Legyen σ : ΩR 2 Ω2 , σ(s0 , s1 , . ) = (s1 , s2 , ) az egyoldalú el- tolás, melyet nevezzünk shiftnek. R 6. Állítás A σ : ΩR 2 Ω2 transzformáció egy egyenletesen folytonos leképezés. Vizsgáljuk most meg egy kicsit jobban a σ leképezést! Tegyük fel, hogy s ∈ ΩR 2 a σ periodikus pontja, azaz σ n (s) = s. Ez azt jelenti, hogy σ n (s) = (sn , sn+1 , . , sn+n−1 , s2n , ) = (s0 , s1 , , sn−1 , sn , ) =⇒ si+n = si ∀i | {z } | {z } n db n db Ebből az következik, hogy s = (s0 , s1 , . , sn−1 , s0 , s1 , ,

sn−1 , s0 , ), ami azt jelenti, hogy σ n-szerint periodikus pontjainak száma, azaz |P ern (σ)| = 2n . Ezek után kimondhatjuk azt a két állítást, ami majd a káosz vizsgálatában nagy segítséget nyújthat számunkra. ∞ 7. Állítás σ periodikus pontjainak halmaza, P er(σ) = ∪ P ern (σ) sűrű ΩR 2 -ben. n=1 8. Állítás A σ leképezés topologikusan tranzitív, azaz van olyan pont, aminek a pályája sűrű ΩR 2 -ben. 16 http://www.doksihu Vizsgáljuk meg egy példán keresztül, hogy egy diszkrét dinamikai rendszer egy pontjának pályáját miképpen lehet lekódolni egy egy irányba végtelen( 0-1 sorozattá. Tekintsük az 3x , ha x ≤ 12 f (x) = úgyne−3x + 3 , ha x ≥ 12 vezett sátor leképezést. Ekkor az x ∈ ( 13 , 32 ) pontokra f (x) ∈ / [0, 1], és ezek végleg elhagyják a [0, 1] × [0, 1]-et, azaz minden k-ra f k (x) ∈ / [0, 1] × [0, 1]. Felmerül bennünk az a kérdés, hogy 2.1 ábra A sátor leképezés mely pontok maradnak

bent [0, 1]2 -ben az idők végezetéig? Ezek lesznek az úgynevezett triadikus Cantor-halmaz C3 elemei. Nézzük, hogy melyek ezek. Legyen A0 = {x ∈ [0, 1] : f (x) ∈ / [0, 1]}, vagyis az a halmaz, melynek pontjai a nulladik iteráció után (vagyis f -et alkalmazva) „kirepülnek” a [0, 1] intervallumból. Hasonlóan jelölje A1 azon pontok halmazát, amelyek az első iteráció alkalmával (azaz f 2 (x) esetén) „repülnek ki” a [0, 1] intervallumból, vagyis A1 = {x ∈ [0, 1]A0 : f (x) ∈ A0 }. Egy általános jelölést használva: n−1 An = {x ∈ [0, 1] ∪ Ak : f n (x) ∈ A0 }. A visszamaradó halmaz, amely nem „repül k=1 ki” a [0, 1] intervallumból, C3 = ∞ [0, 1] ∪ Ak , a triadikus Cantor-halmaz. k=0 Mivel csupán ezen pontok pályája korlátos, ezért csak ezek lesznek számunkra érdekesek a kaotikusság vizsgálata szempontjából, ezeknek a pontoknak a pályáját szeretnénk 0-1 sorozatokká konvertálni. A [0, 1]A0 halmaz két

intervallumból áll Legyenek ezek I0 és I1 A 0 index itt, és a továbbiakban is jelölje a bal oldali intervallumot, az 1 index pedig a jobb oldalit. Az I0 A1 és az I1 A1 intervallumok legyenek rendre 2.2 ábra A definiált intervallumok I00 , I01 , I10 és I11 . Általánosságban ezek 17 http://www.doksihu n−1 az I intervallumok a következőképpen fejezhetők ki: [0, 1] ∪ Ak = k=0 ∪ Iα , ahol α∈{0,1}n ∞ {0, 1}n egy n hosszú 0-1 sorozatot jelöl. Így n ∞ esetén α ∈ {0, 1} Ekkor belátható, hogy Iα 6= ∅, és hogy C3 nem tartalmaz intervallumot, ami azt jelenti, hogy az Iα halmaz minden α-ra egy elemű, vagyis C3 minden pontját az alábbi módon megfeleltettük egy egy irányba végtelen 0-1 sorozatnak: ( S : C3 ΩR 2, S(x) = {s0 , s1 , s2 , . }, ahol x ∈ C3 , és sj = 0 , ha f j (x) ∈ I0 1 , ha f j (x) ∈ I1 . Ha az ΩR 2 halmazt kiterjesztjük a két irányba végtelen 0-1 sorozatok terévé, akkor arról belátható, hogy az

azon értelmezett, immár invertálható σ leképezés homeomorfizmus, periodikus pontjai szintén sűrűn helyezkednek el a térben, és a σ továbbra is topologikusan tranzitív marad. Mindezekből az látható, hogy ha a ϕ dinamikai rendszer pályái, és a 0-1 sorozatok között egy S leképezéssel kapcsolatot teremtünk, akkor a σ leképezés segítségével egy adott pont pályájáról meg tudjuk állapítani, hogy kaotikus viselkedést mutat-e. De vajon mit jelent a kaotikus viselkedés? Ezzel foglalkozunk a következő részben. 18 http://www.doksihu 2.2 Kaotikusság A káoszelmélet az 1900-as évek elején vált jelentős kutatási területté. Első úttörői közé tartozott H. Poincaré, J Hadamard, GD Birkhoff, AN Kolmogorov, ML Cartwright, J.E Littlewood és S Smale Csaknem minden kutatót valamilyen fizikai jelenség vizsgálata indította arra, hogy a káosszal foglalkozzon. Jelentős áttörésre mégis csak később, 1963-ban került sor, amikor E.N

Lorenz publikálta [1] cikkét A tudományterület hirtelen fejlődését nem csupán a cikk, és az azzal kapcsolatos tanulmányok megjelenése segítette elő. A számítógép megjelenése legalább annyira fontos volt, mivel a káosz vizsgálata leggyakrabban egyszerű matematikai kifejezések iterálását jelenti, aminek kézzel történő végrehajtása nagy mennyiségben lehetetlen lett volna. A kaotikusság vizsgálata napjainkban azért vált nehézkessé, mert ahány kutató, annyi féle káosz definíció létezik. A következőkben ezekből is bemutatunk néhányat. Ehhez azonban be kell vezetnünk néhány eddig nem használt fogalmat A továbbiakban legyen J ⊂ Rn , illetve f : J J leképezés diffeomorfizmus. 25. Definíció Azt mondjuk, hogy az f leképezés érzékeny a kezdeti feltételekre, ha van olyan δ > 0, hogy minden x ∈ J minden U környezetére létezik y ∈ U és n ≥ 0, hogy |f n (x) − f n (y)| > δ. Ez azt jelenti, hogy bármely két

(bármilyen közeli) kezdőállapotból indítjuk is el az f leképezés iterálását, a két pont képe az idő múlásával messze kerül egymástól. 26. Definíció Azt mondjuk, hogy az f leképezés topologikusan keveredő, ha minden U, V ⊂ J nyílt halmazra létezik egy N > 0 küszöbszám, hogy minden n > N -re f n (U ) ∩ V 6= ∅. Ez azt jelenti, hogy bármely J -beli nyílt halmaz képe egy idő után belemetsz egy másik nyílt halmazba, bárhogyan is választottuk meg ezeket a halmazokat, azaz a két halmaz összekeveredik. Ezek után kimondhatjuk az első káosz definícióinkat 27. Definíció Azt mondjuk, hogy az f leképezés kaotikus, ha 1. f érzékeny a kezdeti feltételekre, 2. f topologikusan keveredő, és 3. f periodikus pontjai sűrűn vannak J -ben 19 http://www.doksihu R.L Devaney definíciója a második olyan káosz definíció, amit széles körben használnak. Ez csupán annyiban különbözik az előzőtől, hogy a 2 pontban nem f topologikus

keveredését, hanem f topologikus tranzitivitását szabja feltételül, azaz, hogy van olyan q ∈ J pont, hogy q pályája sűrű J -ben. A harmadik bemutatni kívánt káosz definíció a kezdeti feltételektől való érzékeny függést használja a káosz meghatározására. Az érzékeny függés mértékét az úgynevezett Ljapunov-számmal, és az ebből származtatott Ljapunov-exponenssel adja meg Mivel a p pont körül a távolodás mértékét |f 0 (p)| adja meg, ezért n = 1 dimenzióban a következőket mondjuk: 28. Definíció Legyen f : R R diffeomorfizmus Ekkor egy p ∈ R ponthoz tartozó Ljapunov-szám: 1 L(p) = lim (|f 0 (p)| · |f 0 (f (p))| · · · · · |f 0 (f n−1 (p))|) n . n∞ A p-hez tartozó Ljapunov-exponens l(p) = ln L(p), azaz: 1 · [ln |f 0 (p)| + ln |f 0 (f (p))| + · · · + ln |f 0 (f n−1 (p))|]. n∞ n l(p) = lim 29. Definíció Egy p ∈ J pont aszimptotikusan periodikus, ha létezik olyan q periodikus pont, melyre lim |ϕ(n, p) −

ϕ(n, q)| = 0 n∞ 30. Definíció Legyen f : R R diffeomorfizmus Egy p ∈ R pont pályáját kaotikusnak nevezzük, ha 1. korlátos, 2. nem aszimptotikusan periodikus, és 3. l(p) > 0 Fontos megjegyezni, hogy ez utóbbi káosz definíció az első kettővel ellentétben nem az f leképezésről, hanem a p pont pályájáról fogalmaz meg kaotikusságot. Most nézzük meg, hogy a differenciálegyenletek körében mikor fedezhetünk fel káoszt. 31. Definíció A q ∈ E ⊂ Rn pont a p ∈ E pont ω-határpontja, illetve α-határpontja, ha létezik olyan tn +∞, illetve tn −∞ sorozat, melyre lim ϕ(tn , p) = q, n+∞ illetve 20 lim ϕ(tn , p) = q. n−∞ http://www.doksihu 32. Definíció A p pont összes ω-határpontjának, illetve összes α-határpontjának halmazát ω-határhalmaznak, illetve α-határhalmaznak nevezzük, és ω(p)-vel, illetve α(p)-vel jelöljük. Megjegyezzük, hogy egy Γ pálya minden pontjának ugyanaz az ω- illetve αhatárhalmaza.

15. Tétel (Az általánosított Poincaré–Bendixson-tétel) Legyen E ⊂ Rn tartomány, K ⊂ E pozitívan invariáns kompakt halmaz, melyben véges sok egyensúlyi pont van. Ekkor egy p ∈ K pont ω-határhalmaza 1. vagy egyensúlyi pont, 2. vagy periodikus pálya, 3. vagy a p1 , , pn egyensúlyi pontok és olyan Γ pályák uniója, melyekre ω(Γ) = pi , és α(Γ) = pj . Ebből arra a fontos következtetésre jutunk, hogy káosz csak legalább háromdimenziós differenciálegyenlet-rendszerek esetében állhat fenn. Ugyanis egy dimenzióban a korlátos pályák mindenképpen egy aszimptotikusan stabil egyensúlyi ponthoz tartanak. Két dimenzióban a korlátos pályák tarthatnak egy periodikus pályához is. Három, és annál magasabb dimenziók esetén előfordulhat azonban ennél sokkal bonyolultabb, azaz kaotikus aszimptotikus viselkedés is. Összességében tehát elmondható, hogy a káosz a szó hétköznapi jelentésével ellentétben nem valamiféle kusza

átláthatatlanságot, hanem sokkal inkább egy jól meghatározott, leírható viselkedésformát jelent. 21 http://www.doksihu 2.3 A bifurkációelmélet elemei A dinamikai rendszerek elméletében a bifurkációelmélet azt a jelenséget vizsgálja, amikor a paraméterek kismértékű változása az egyenlet megoldásában kvalitatív változásokat okoz. E vizsgálat során a strukturális stabilitás az egyik legfontosabb definíciónk lesz Az elmélet alapjait JV Andropov és LS Pontryagin fektette le 1937-ben Az ő munkájuk azonban csak kétdimenziós, síkbeli eredményeket hozott. Magasabb (n ≥ 3) dimenziókra azonban sajnos nincs sok elérhető befejezett eredmény. Ennek ellenére szükségét érezzük, hogy betekintést nyerjünk a bifurkációelmélet legfontosabb témaköreibe Ebben a részben olyan rendszerekkel fogunk foglalkozni, ahol az f függvény nemcsak x-től, hanem egy µ valós paramétertől is függni fog, azaz ẋ = f (x, µ). (2.1) 33.

Definíció Ha f ∈ C 1 (E), akkor f C 1 -normája kf k1 = sup |f (x)| + sup kf 0 (x)k, x∈E x∈E ahol | · | jelöli az Euklideszi normát Rn -en, és k · k az f 0 (x) mátrix szokásos maximumnormáját. 34. Definíció Ha K kompakt részhalmaza E-nek, akkor a C 1 -norma K-n kf k1 = max |f (x)| + max kf 0 (x)k < ∞. x∈K x∈K 35. Definíció Azt mondjuk, hogy az f függvény strukturálisan stabil, ha létezik olyan ε > 0, hogy minden olyan g ∈ C 1 (E)-re, amelyre kf − gk1 < ε, f és g topologikusan ekvivalensek egymással az E halmazon, azaz létezik egy olyan H : E E irányítástartó homeomorfizmus az origón keresztül, ami az ẋ = f (x) pályáit az ẋ = g(x) (2.2) pályáira képezi. Ha egy f ∈ C 1 (E) függvény nem strukturálisan stabil, akkor f -re azt mondjuk, hogy strukturálisan instabil. Ha K kompakt részhalmaza E-nek, f ∈ C 1 (E), és a K feletti C 1 -norma definícióját használjuk, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény

strukturálisan stabil a K halmazon. 22 http://www.doksihu 16. Tétel Legyen f ∈ C 1 (E), ahol E tartalmazza az (12) egyenlet egy x0 hiperbolikus egyensúlyi pontját Ekkor minden ε > 0-hoz létezik egy δ > 0, hogy minden olyan g ∈ C 1 (E)-re, melyre kf −gk1 < δ, létezik egy y0 az x0 ε sugarú környezetében, hogy y0 hiperbolikus egyensúlyi pontja (2.2)-nek Ez azt jelenti, hogy az f 0 (x0 ) és a g 0 (y0 ) mátrixnak ugyanannyi negatív (és pozitív) valós részű sajátértéke van. 36. Definíció Legyen f ∈ C 1 (E), ahol E tartalmazza az (12) egyenlet egy Γ hiperbolikus periodikus pályáját Ekkor minden ε > 0-hoz létezik egy δ > 0, hogy minden olyan g ∈ C 1 (E)-re, melyre kf − gk1 < δ, létezik egy hiperbolikus periodikus pályája (2.2)-nek Γ ε sugarú környezetében Egy másik nagyon fontos eredmény n-dimenziós rendszerekre, hogy bármely ẋ = Ax lineáris rendszer, ahol az A mátrixnak nincs nulla valós részű

sajátértéke, strukturálisan stabil Rn -ben. 37. Definíció Azt a µ0 értéket, melyre az f (x, µ0 ) függvény nem strukturálisan stabil (vagyis nincs stabil pályaszerkezete), bifurkációs értéknek nevezzük. Bifurkációk a nem hiperbolikus egyensúlyi pontoknál A (2.1) rendszer megoldásának kvalitatív viselkedése függ a µ ∈ R paramétertől A µ paraméter bifurkációs értékénél az egyensúlyi pont nem hiperbolikus, vagyis ∂x f (x0 , µ0 ) = 0. Ez az x0 egyensúlyi pont struktúrájának megváltozására utal A továbbiakban feltesszük, hogy f ∈ C 1 (E × I), ahol E az Rn egy nyílt részhalmaza, I ⊂ R pedig egy intervallum. A bifurkációk három legegyszerűbb típusa a (21) rendszer nem hiperbolikus egyensúlyi pontjainál fordul elő, amikor x, µ ∈ R. A nyereg-csomó bifurkáció. Tekintsük az ẋ = µ − x2 egydimenziós rendszert √ Ennek µ > 0 esetén két egyensúlyi pontja van az x = ± µ-ben. Ekkor láthatjuk, √ √ hogy az x =

µ egyensúlyi pont stabil, míg az x = − µ instabil. Ha µ = 0, akkor a rendszernek csak az x = 0 pontban van egy nem hiperbolikus egyensúlyi pontja. Ekkor a rendszer strukturálisan instabil, és a µ = 0 bifurkációs érték µ < 0 esetén a rendszerben nincs egyensúlyi pont. A fázisképeket µ különböző értékeire, és a bifurkációs diagramot az alábbi, (2.3)-as ábrán láthatjuk 23 http://www.doksihu (a) µ < 0 (b) µ = 0 (c) µ > 0 (d) Nyereg-csomó bifurkáció 2.3 ábra Egyensúlyi pontok és a bifurkációs diagram: nyereg-csomó bifurkáció A transzkritikus bifurkáció. Most az ẋ = µx − x2 egydimenziós rendszert vizsgáljuk Ennek az x = 0 és az x = µ pontokban lesz egyensúlyi pontja, ugyanis µx − x2 = 0 ⇐⇒ x(µ − x) = 0 =⇒ x = 0 vagy x = µ. Ha µ = 0, akkor a rendszernek csak egy egyensúlyi pontja van, és ez nem hiperbolikus. Ekkor a rendszer strukturálisan instabil, és a µ = 0 bifurkációs érték A fázisképeket

µ különböző értékeire, és a bifurkációs diagramot a (2.4)-es ábrán láthatjuk A vasvilla bifurkáció. Ebben az esetben az ẋ = µx − x3 egyenletet vizsgáljuk √ Ennek egyensúlyi pontjai µ > 0 esetén az x = 0, illetve az x = ± µ pontokban vannak. µ ≤ 0 esetén az egyetlen egyensúlyi pont az x = 0 Ekkor ez nem hiperbolikus, a rendszer strukturálisan instabil, a µ = 0 pedig bifurkációs érték. (25)-ös ábra 24 http://www.doksihu (a) µ < 0 (b) µ = 0 (c) µ > 0 (d) Transzkritikus bifurkáció 2.4 ábra Egyensúlyi pontok és a bifurkációs diagram: transzkritikus bifurkáció (a) µ ≤ 0 (b) µ > 0 (c) Vasvilla bifurkáció 2.5 ábra Egyensúlyi pontok és a bifurkációs diagram: vasvilla bifurkáció 25 http://www.doksihu A Hopf bifurkáció Ebben a részben a bifurkációknak azzal az esetével ismerkedünk meg, amikor a ∂x f (x0 , µ0 ) mátrixnak egy tisztán képzetes sajátérték párja van (hiszen, ha a + bi

sajátérték, akkor a − bi is az), és nincs más 0 valós részű sajátértéke. Ebben az esetben az implicitfüggvény-tétel garantálja számunkra, hogy minden µ-re a µ0 egy környezetéből egyértelműen létezik egy xµ egyensúlyi pont az x0 egy környezetében. Ha a ∂x f (xµ , µ) mátrix sajátértékei a µ = µ0 értéknél keresztezik a képzetes tengelyt, akkor a (2.1) rendszer lokális fázisképe megváltozik, ahogy a µ paraméter átmegy a µ0 bifurkációs értéken. Általában a Hopf bifurkáció ott jelenik meg, ahol egy periodikus pálya keletkezik, amikor az xµ egyensúlyi pont stabilitása megváltozik Ezt a következő kétdimenziós rendszeren mutatjuk be: ẋ = −y + x(µ − x2 − y 2 ) (2.3) ẏ = x + y(µ − x2 − y 2 ) A fáziskép szerkezeti változásai láthatóvá válnak, ha felírjuk az egyenleteket polárkoordinátás alakban: ṙ = r(µ − r2 ) (2.4) ϑ̇ = 1 A rendszer egyetlen egyensúlyi pontja az origó. Láthatjuk, hogy µ

≤ 0-ra az origó stabil fókusz, µ > 0-ra pedig instabil fókusz, és létrejön egy stabil határciklus. (a) µ ≤ 0 (b) µ > 0 (c) A Hopf bifurkáció 2.6 ábra Egyensúlyi pontok és a bifurkációs diagram: Hopf bifurkáció 26 http://www.doksihu 3. fejezet A Lorenz-rendszer Ebben a fejezetben Edward N. Lorenz amerikai matematikus és meteorológus [1] cikkében publikált egyenleteivel fogunk foglalkozni. Lorenz eredetileg nem káoszelmélettel foglalkozott, hanem időjárás előrejelzéssel Egy alkalommal egy korábbi számításának részeredményeit töltötte be számítógépébe három tizedes jegy pontossággal, a számítógép azonban a számokat hat tizedes jegy pontossággal ábrázolta. A tudós meglepődve tapasztalta, hogy az így kapott eredmények egyre nagyobb mértékben térnek el a korábban kiszámoltaktól Világossá vált számára, hogy nem számítógépe hibájából, hanem a bevitelkor ejtett hibából adódtak az egyre nagyobb

eltérések. Mivel az akkori szemléletmód szerint ilyen kisméretű hiba nem okozhatott volna ekkora eltérést, foglalkozni kezdett a problémával. Felfedezte, hogy egyenletei bizonyos paraméterértékek esetén érzékenyek a kezdeti feltételekre. Az általa használt időjárásmodell kaotikusságát csak jóval később, 1998-ban sikerült bebizonyítani. Most mi is megvizsgáljuk ezeket az egyenleteket, az egyensúlyi pontjait és azok stabilitását, majd a rendszer globális viselkedését A vizsgálat során gyakran numerikus számításokra fogunk támaszkodni. Lorenz egyenletei, amiket a légkör modellezésére használt, és amelyekben a σ, % és β számok pozitív állandók, a következők: ẋ = −σx + σy (3.1a) ẏ = %x − y − xz (3.1b) ż = xy − βz. (3.1c) 27 http://www.doksihu  −σx + σy    . Legyen f : R3 R3 , u = [x, y, z]> , f (u) =  %x − y − xz   xy − βz Ezekkel a jelölésekkel a (3.1)

egyenletrendszer felírható a következőképpen: u̇ = f (u) 3.1 Egyensúlyi pontok és stabilitásuk A p ∈ R3 pont egyensúlyi pontja f -nek, ha f (p) = 0. Ez azt jelenti, hogy teljesül az alábbi egyenletrendszer. −σx + σy = 0 (3.2a) %x − y − xz = 0 (3.2b) xy − βz = 0 (3.2c) Ekkor (3.2a)-ból következik, hogy x = y Ezt figyelembe véve (32b)-ből következik, hogy vagy x = 0, vagy % − z − 1 = 0 Az x = 0 azt jelenti, hogy y = 0 Ezekből, és (3.2c)-ből következik, hogy z = 0 Tehát biztosak lehetünk benne, hogy az egyik egyensúlyi pont az origó. Ha x 6= 0, akkor % − z − 1 = 0-ból következik, p hogy z = % − 1, és (3.2c)-ből következik, hogy x = y = ± β(% − 1), azaz két új p p egyensúlyi pontot kapunk a [± β(% − 1), ± β(% − 1), % − 1] pontokban. Nevezzük ezeket C1 -nek és C2 -nek. Megjegyezzük, hogy ez utóbbi egyensúlyi pontok % = 1 p esetén az origót adják, % < 1 esetén pedig ± β(% − 1) ∈ / R. Az

egyensúlyi pontok stabilitását az adott pontban végrehajtott linearizálással vizsgálhatjuk meg. Fejtsük sorba f -et az egyensúlyi pont körül: u̇(t) = f (u(t)) = f (p) + f 0 (p)(u(t) − p) + . Legyen y(t) = u(t) − p. Ekkor ẏ(t) = u̇(t) = f (p) + f 0 (p) · y(t) + Mivel f (p) = 0, f 0 (p) = A ∈ R3×3 , a magasabb rendű deriváltak pedig a Hartman–Grobman-tétel következményeképpen elhanyagolhatók, ezért az egyensúlyi pontokban: ẏ = Ay. A linearizálással kapott mátrixok a következők:   −σ σ 0    f 0 (p) = A =  % − z −1 −x   y x −β 28 http://www.doksihu  −σ  O=  % 0 Az origóban: σ −1 0 0   0  , −β empty line  a C1 pontban: −σ σ  0   p , P = β(% − 1) 1 −1 −  p p β(% − 1) β(% − 1) −β empty line  a C2 pontban: −σ σ  0   p . M = β(% − 1) 1 −1   p p − β(% − 1) − β(% − 1)

−β empty line A sajátértékekre kapott karakterisztikus egyenletek az origóban illetve a C1 és C2 pontokban (ezek azonosak): k(λ1 ) = λ31 + λ21 (β + σ + 1) + λ1 (σ(1 + β − %) + β) + βσ(1 − %) = 0, (3.3) k(λ2 ) = λ32 + λ22 (β + σ + 1) + λ2 (β(σ + %)) + 2σβ(% − 1) = 0. (34) Az egyensúlyi pontok stabilitásához tudnunk kell, hogy a k(λ) = 0 egyenletek minden megoldása negatív valós részű-e. Erre ad választ a Routh–Hurwitz-feltétel leellenőrzése. Az origó stabilitása A Routh–Hurwitz-feltétel ellenőrzéséhez el kell készítenünk a következő mátrixot, amely a (3.3) egyenlet együtthatóiból adódik:   β+σ+1 1 0   βσ(1 − %) σ(1 + β − %) + β β + σ + 1  .   0 0 βσ(1 − %) A feltétel kimondja, hogy a k(λ1 ) = 0 egyenlet minden gyökének valós része negatív, ha az előbbi mátrix minden ∆i aldeterminánsa pozitív. ∆1 nyilvánvalóan pozitív, ∆2 = (β + σ + 1)(σ(1 + β − %) +

β) − βσ(1 − %), ∆3 = βσ(1 − %)∆2 . Ebből látszik, hogy a stabilitás ∆2 > 0 és % < 1 esetén állhat fenn. Ha % < 1, akkor mind ∆2 , mind ∆3 pozitív előjelű lesz. Tehát a (31) egyenletrendszer % < 1 esetén az origóban aszimptotikusan stabil, minden egyéb esetben instabil lesz. 29 http://www.doksihu A C1 és C2 pontok stabilitása Ebben az esetben a Routh–Hurwitz-feltételből kapott mátrix a következő:  β+σ+1 1 0    2βσ(% − 1) β(σ + %) β + σ + 1  .   0 0 2βσ(% − 1) Ez a mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha ∆1 , ∆2 , és ∆3 is pozitív. Láthatjuk, hogy ∆1 pozitív, ∆2 = β(β +σ +1)(σ +%)−2βσ(%−1), ∆3 = 2βσ(%−1)∆2 . Látható, hogy a stabilitás csak ∆2 > 0 és % > 1 esetén állhat fenn. Mivel az aszimptotikus stabilitással kapcsolatos állítás oda-vissza működik, tegyük fel, hogy ∆2 > 0 és % > 1. Ekkor azt kapjuk, hogy (β + σ + 1)(σ

+ %) > 2σ(% − 1) m σ(σ + β + 3) > %(σ − β − 1) m %H = σ σ+β+3 > % , ha (σ − β − 1) > 0. σ−β−1 Ebből az következik, hogy ha 1 < % < %H , akkor a C1 és C2 pontok aszimptotikusan stabilak. Ha % > %H , akkor a ∆2 aldetermináns negatívvá válik Ekkor a Jacobi-mátrixnak két pozitív valós részű sajátértéke van, ami azt jelenti, hogy az egyensúlyi pont instabil. 3.2 A rendszer globális viselkedése A globális viselkedés egyszerűen meghatározható a V1 (p, q, r) = %p2 + σq 2 + σr2 Ljapunov-függvény segítségével a % ≤ 1 paraméterértékre. Ugyanis Lf V1 (p, q, r) = hV10 , f i(p, q, r) = −2σ[(%p−q)2 +p2 %(1−%)+βr2 ], ami kisebb, mint 0 az origón kívül minden pontban, ha % < 1. Ljapunov stabilitási tétele alapján tehát azt mondhatjuk, hogy az origó % < 1 esetén aszimptotikusan stabil. Ha % = 1, akkor a {(p, q, r) ∈ R3 : p = q, r = 0} egyenes mentén Lf V1 (p, q, r) = 0, és ez az egyenes

nem tartalmaz az origón kívül egyetlen pályát sem, ezért az aszimptotikus stabilitást Barbasin– Kraszovszkij tétele alapján mondhatjuk ki. 30 http://www.doksihu Globális viselkedés a % > 1 paraméterérték esetén Láthattuk, hogy a Lorenz-rendszer egyensúlyi pontjait, azok stabilitását, és a globális viselkedést is a % paraméter tudja csak érdemben befolyásolni. Ezért a továbbiakban a σ paraméter értékét 10-ben, a β paraméter értékét 8/3-ban lerögzítjük Ha % > 1, akkor a rendszer állapotait numerikus módszerek segítségével vizsgáljuk. A % < %H paraméterérték. Mint azt már korábban láthattuk, ilyenkor a C1 és C2 egyensúlyi pontok stabilak, a rendszer pályái az egyensúlyi pontokhoz tartanak. A %H érték σ = 10 és β = 8/3 esetén 470/19 ≈ 24, 7368421052. (a) % = 8 (b) % = 16 3.1 ábra A C1 és C2 egyensúlyi pontok és pályák % különböző értékeire A % > %H paraméterérték. Szintén korábbról

tudjuk, hogy ekkor a C1 és a C2 egyensúlyi pont is instabil. (a) % = 25 (b) % = 30 3.2 ábra A C1 és C2 egyensúlyi pontok és pályák % különböző értékeire 31 http://www.doksihu Káosz a klasszikus % = 28 paraméterértékre. Az alábbi sorozatábrán láthatjuk, hogy egy az egyensúlyi pont közeléből indított pont pályája az időben hogyan építi fel a kaotikus halmazt. (a) t = 1 (b) t = 2 (c) t = 3 (d) t = 5 (e) t = 8 (f) t = 10 (g) t = 13 (h) t = 16 (i) t = 25 3.3 ábra A káosz kialakulása: % = 28 32 http://www.doksihu Periodikus pályák, a perióduskettőződés. A periodikus pályák különböző fajtájúak lehetnek Létezik szimmetrikus és aszimmetrikus, és ezek csak % igen magas, jellemzően 100 fölötti értékeire figyelhetők meg jól. 3.4 ábra Egy szimmetrikus periodikus pálya 3.5 ábra Aszimmetrikus periódus és kettőződése 33 http://www.doksihu 4. fejezet A Rössler-rendszer A Rössler-rendszer az egyik

legegyszerűbb nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer, amely bizonyos paraméterértékekre kaotikus viselkedést mutat. Otto Rössler a róla elnevezett egyenletrendszert 1976-ban mesterséges módon tervezte meg, ám a későbbiekben kémiai reakciók modellezésében bizonyult hasznosnak. A modell nagyon sok hasonlóságot mutat a Lorenz-rendszerrel, ám attraktorának szerkezete és a rendszer elemzése is egyszerűbb. Rössler egyenletrendszere, amelyben az a, b és c paraméterek pozitív állandók, a következő: ẋ = −y − z (4.1a) ẏ = x + ay (4.1b) ż = z(x − c) + b. (4.1c)   −y − z   3 3 >  Legyen f : R R , u = [x, y, z] , f (u) =   x + ay  . Így a (41) egyenletz(x − c) + b rendszer felírható u̇ = f (u) alakban. 4.1 Egyensúlyi pontok és stabilitásuk A p ∈ R3 pont egyensúlyi pontja f -nek, ha f (p) = 0. Ez azt jelenti, hogy teljesül az alábbi egyenletrendszer. 34 http://www.doksihu −y − z = 0 (4.2a)

x + ay = 0 (4.2b) z(x − c) + b = 0. (4.2c) Ekkor (4.2a)-ból következik, hogy −y = z, amit (42b)-be helyettesítve adódik, hogy x = az, amit (4.2c)-be helyettesítünk Így adódik z-re, hogy z = √ c± c2 −4ab . 2a Ebből és a következtetésekből két egyensúlyi pont adódik: √  √ c2 −4ab c+ c2 −4ab , 2a 2a √  √ c2 −4ab c− c2 −4ab , 2a 2a P1  √ c+ c2 −4ab , 2 − c+ P2  √ c− c2 −4ab , 2 − c− Az egyensúlyi pontok stabilitását az adott pontban végrehajtott linearizációval vizsgálhatjuk meg. Fejtsük sorba f -et az egyensúlyi pont körül u̇(t) = f (u(t)) = f (p) + f 0 (p)(u(t) − p) + . Legyen y(t) = u(t)−p. Mivel f (p) = 0, f 0 (p) = A ∈ R3×3 , a magasabb rendű deriváltak pedig a Hartman–Grobman-tétel miatt elhagyhatók, az egyensúlyi pontokban ẏ = Ay. Az A = f 0 (u) mátrix az egyensúlyi pontban:   0 −1 −1   . 1 a 0   z 0 x−c Ennek karakterisztikus polinomja:

k(λ) = 0−λ −1 −1 1 a−λ 0 z 0 x−c−λ = = λ3 + λ2 (c − a − x) + λ(ax − ac + z + 1) + c − 2x. Tudjuk, hogy az egyensúlyi pont stabil, ha a k(λ) = 0 egyenlet gyökeinek valós részei mind negatívak. Ennek eldöntésében van segítségünkre a Lorenz-rendszer vizsgálatához hasonlóan a Routh–Hurwitz-kritérium, mely szerint, ha az alábbi mátrix minden ∆i aldeterminánsa pozitív, akkor a k(λ) = 0 egyenlet gyökeinek valós részei mind negatívak, azaz az egyensúlyi pontok stabilak. 35 http://www.doksihu A kritériumban megfogalmazott mátrix a következő:   c−a−x 1 0    c − 2x ax − ac + z + 1 c − a − x .   0 0 c − 2x Ennek aldeterminánsai: ∆1 = c − a − x ∆2 = (c − a − x)(ax − ac + z + 1) − (c − 2x) ∆3 = (c − 2x)∆2 . Ezek pozitivitását leellenőrizni nem tudjuk, ezért az a és b paraméter értékét lerögzítjük 0, 2-ben (mivel az úgynevezett kontrollparaméter a c),

és ∆i -t c függvényében vizsgáljuk úgy, hogy az x = az következtetésből z-t x/a-val helyettesítjük, x-et pedig √ c± c2 −4ab -vel. 2 Így a vizsgálandó függvények a P1 pont esetén: p ∆1 (c) = 0, 5c − 0, 2 − 0, 5 c2 − 0, 16, p p p ∆2 (c) = (0, 5c − 0, 2 − 0, 5 c2 − 0, 16)(2, 4c + 2, 6 c2 − 0, 16 + 1) + c2 − 0, 16, p p ∆3 (c) = ((0, 5c − 0, 2 − 0, 5 c2 − 0, 16)(2, 4c + 2, 6 c2 − 0, 16 + 1) + · · · p p · · · + c2 − 0, 16) c2 − 0, 16. (a) ∆1 (c) (b) ∆2 (c) (c) ∆3 (c) 4.1 ábra Aldeterminánsok a P1 egyensúlyi pont esetén a c paraméter függvényében A függvénygrafikonokról jól látszik, hogy ∆1 és ∆3 értéke minden c-re negatív értéket vesz fel, ha a kifejezés értelmes, ugyanakkor ∆2 mindig pozitív az értelmezési tartományon. Ebből a stabilitási tételek értelmében az következik, hogy a P1 pont mindig instabil. 36 http://www.doksihu A P2 pont esetén az aldeterminánsokból származó

függvények a következők: p ∆1 (c) = 0, 5c − 0, 2 + 0, 5 c2 − 0, 16, p p p ∆2 (c) = (0, 5c − 0, 2 + 0, 5 c2 − 0, 16)(2, 4c − 2, 6 c2 − 0, 16 + 1) − c2 − 0, 16, p p ∆3 (c) = −((0, 5c − 0, 2 + 0, 5 c2 − 0, 16)(2, 4c − 2, 6 c2 − 0, 16 + 1) − · · · p p · · · − c2 − 0, 16) c2 − 0, 16. (a) ∆1 (c) (b) ∆2 (c) (c) ∆3 (c) 4.2 ábra Aldeterminánsok a P2 egyensúlyi pont esetén a c paraméter függvényében A függvénygrafikonokból ebben az esetben az látható, hogy ∆1 értéke minden cre pozitív lesz (ahol értelmes), míg ∆2 és ∆3 értéke mindig negatív. Ezért a stabilitási tételek értelmében a P2 pont szintén instabil minden c értékre. A Rössler-rendszernek tehát csak instabil egyensúlyi pontjai vannak, ha a = b = 0, 2. 4.2 A rendszer globális viselkedése A Lorenz-rendszerrel ellentétben a Rössler-féle differenciálegyenletekhez nem tudunk Ljapunov-függvényt biztosítani. A globális viselkedés

vizsgálata ezért ebben az esetben kizárólag numerikus módszerekkel történik. A rendszer egyensúlyi pontjainak vizsgálatakor Rössler eredeti ötletének és a szokásnak megfelelően már lerögzítettük az a és b paramétereket 0, 2-ben Azt, hogy ennél a rendszernél is a harmadik (c) paraméter változtatása alakítja meghatározó módon a pályák viselkedését, csak a most következő vizsgálatok alkalmával fogjuk látni. Korábban már láttuk, hogy mindkét egyensúlyi pont instabil. Most megfigyelhetjük egy-egy az egyensúlyi pontok közeléből indított pont pályáját is, majd azt, hogy a c paraméter változtatásával felváltva kapunk periodikus és kaotikus pályarajzokat. 37 http://www.doksihu (a) P1 (b) P2 (c) c=4, periódus: 1 (d) c=6, periódus: 2 (e) c=8,5, periódus: 4 (f) c=8,7, periódus: 8 (g) c=9, káosz (h) c=12, periódus: 3 (i) c=12,6, periódus: 6 (j) c=13, káosz (k) c=18, káosz 4.3 ábra A Rössler-rendszer egyensúlyi

pontjai, periodikus pályái és a káosz 38 http://www.doksihu Összefoglalás Jelen dolgozat célja volt megválaszolni azokat a kérdéseket, hogy mi lehet az oka annak a sok matematikán kívüli tudományágban is előforduló, bonyolult és előre jelezhetetlen viselkedésnek, amit káosznak nevezünk, hogy mi is a káosz, és hogy erről a jelenségről mit tudunk elmondani? Az első fejezetben megismerkedtünk az ilyen jelenségek leíráshoz és vizsgálatához szükséges differenciálegyenletekkel kapcsolatos elméleti alapokkal. A második fejezetben a dinamikai rendszerek témakörével foglalkoztunk, amely sok jó eszközt ad a kezünkbe kutatásaink elvégzéséhez. Ebben a fejezetben adtunk néhány definíciót a káoszra és a kaotikusságra Fel kellett azonban hívni a figyelmet arra, hogy bár a definíciók nem bonyolultak, egy rendszerről belátni, hogy kaotikus, mégis embert próbáló feladat, és ebben a dolgozatban sajnos nincs módunk a bizonyításra.

Az utolsó két fejezetben konkrét példákon keresztül vizsgáltuk meg a kaotikusságot. A differenciálegyenletekben előforduló káosz tanulmányozásának iskolapéldáit vettük górcső alá: Edward Lorenz rendszerét a természet adta a kezünkbe, míg Otto Rössler egyenleteit a mesterkélt gondolkodás szülte. E rendszerek vizsgálata során felfedeztük azt az igen markáns jelentésbeli különbséget, ami a káosz szó hétköznapi, és tudományos jelentése között van. Végkövetkeztetésként e dolgozat alapján megállapíthatjuk, hogy a kaotikus viselkedés oka nem más, mint a kezdeti feltételektől való érzékeny függés. Filozófiai szemszögből megközelítve a témát azt mondhatjuk, hogy egy olyan kérdést boncolgattunk, ami a legtöbb embert oly sokszor foglalkoztat: Mi lett volna, ha.? 39 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] Edward N. Lorenz: Deterministic Nonperiodic Flow, Journal of Atmospheric Sciences, Massachusetts, 1963 [2] Tóth

János–Simon L. Péter: Differenciálegyenletek, TIPOTEX, Budapest, 2005 [3] Lawrence Perko: Differential Equations and Dynamical Systems, SpringerVerlag, New York, 1991 [4] Colin Sparrow: The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Springer-Verlag, New York, 1982 [5] Tél Tamás–Gruiz Márton: Kaotikus Dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002 [6] http://wikipedia.org/ 40 http://www.doksihu Nyilatkozat Név: Chmelik Gábor ELTE TTK, Matematika B.Sc szak, Matematikai elemző szakirány ETR azonosító: CHGOAAT.ELTE Szakdolgozat címe: Kaotikus Differenciálegyenletek A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, 2010. június 1 Chmelik Gábor 41