Fizika | Tanulmányok, esszék » Dr. Égert János - Kinematika, kinetika

10. KINEMATIKA, KINETIKA Kinematika: Az anyagi pontok és a merev testek mozgásának leírása Kinetika: Az anyagi pontokra és a merev testekre ható erők, nyomatékok és a mozgás kapcsolatának tisztázása. A mozgás okainak leírása 10.1 Anyagi pont mozgása a) A mozgásfüggvény, a pályagörbe: Mozgásfüggvény: az anyagi pont helyzetét meghatározó r = r ( t ) helyvektor-idő függvény. Mértékegysége: m. z P1 P0 pályagörbe r (t1 ) r (t0 ) x P r (t ) O Pályagörbe: 1. definíció: Az a térgörbe melyen az anyagi pont a mozgás során végighalad. 2. definíció: Az r = r ( t ) mozgásfüggvény által meghatározott térgörbe y Az r = r ( t ) mozgásfüggvény megadása: - Vektoriális alak DDKR: r (t ) = x(t )ex + y (t ) ey + z (t ) ez , HKR: r (t ) = R(t ) eR + z (t ) ez , ahol eR = cos ϕ ex + sin ϕ e y . - Skaláris alak DDKR: x = x(t ) , HKR: R = R (t ) , y = y (t ) , ϕ = ϕ (t ) , z = z (t ) , z = z (t ) . A mozgásfüggvény az e , n

, b természetes koordináta-rendszerben: + O s P ⋅⋅ b Ívkoordináta: a pályagörbén egy O kezdőponttól mért előjeles s ívhossz (előjeles távolság). e Kisérő triéder: e , n , b - a görbe természetes koordinátarendszerének egységvektorai. n - Érintő irányú egységvektor: e = - Főnormális egységvektor: dr , ds e = 1. de 1 =κ n = n , ds ρ n = 1. ( κ a térgörbe görbülete, ρ a térgörbe görbületi sugara) - Binormális egységvektor: b =e ×n , b = 1. Simulósík: az e , n vektorok által kifeszített sík. 178 Az anyagi pont helyének megadási lehetőségei: - r = r (t ) helyvektor – idő függvény, - r = r ( s ) helyvektor – ívkoordináta függvény, - s = s (t ) ívkoordináta (út) – idő függvény (ehhez ismerni kell agörbe alakját). b) A sebességfüggvény, a sebességvektor: Sebességfüggvény: a mozgásfüggvény idő szerinti első deriváltja. d r (t ) , Mértékegysége: m/s . dt Pillanatnyi

sebességvektor: a sebességfüggvény egy adott t1 időpillanatban felvett értéke. v (t ) = r (t ) = v1 = v (t1 ) . Tulajdonságai: - vektor mennyiség, - iránya azonos a pályagörbe érintőjével. d r d r ds d s (t ) = =e = e v(t ) = v(t ) e . dt ds dt dt d s (t ) . Pálya menti sebesség (pályasebesség): v(t ) = dt Tulajdonságai: - a sebességvektor érintő irányú koordinátája, - előjeles skalár mennyiség, - előjelét az s ívkoordináta irányítása határozza meg. Bizonyítás: v (t ) = Közepes sebesség: mindig egy megadott időintervallumra vonatkozik. A < t1 t2 > időintervallumra vonatkozó közepes sebesség: vk = r (t2 ) − r (t1 ) r2 − r1 ∆r12 = = . t2 − t1 t2 − t1 ∆t12 z P1 P2 ∆r12 r2 r1 x O y Hodográf: Az a görbe, amit a v (t ) sebességvektorok végpontja ír le a vx , v y , vz koordinátarendszerben c) A gyorsulásfüggvény, a gyorsulásvektor: Gyorsulásfüggvény: a sebességfüggvény idő szerinti első

deriváltja. d v (t ) d 2 r (t ) a (t ) = = , Mértékegysége: m/s 2 . dt dt 2 Pillanatnyi gyorsulásvektor: a gyorsulásfüggvény egy adott t1 időpillanatban felvett értéke. a1 = a (t1 ) Tulajdonságai: - vektor mennyiség, - a pályagörbe simulósíkjába esik, - érintő és főnormális irányú összetevőkből áll. 179 d v (t ) d dv(t ) d e (t ) = [ v(t ) e (t ) ] = e +v , dt dt dt dt d e d e ds 1 v = = n v(t ) = n , dt ds dt ρ ρ 2 dv v a (t ) = e + n = ae (t ) e + an (t ) n . dt ρ Bizonyítás: a (t ) = Pálya menti gyorsulás (pályagyorsulás): ae (t ) = [v(t )] dv(t ) . A sebesség nagyságának megváltodt zásából adódik. 2 Normális gyorsulás: an (t ) = ρ . A sebesség irányának megváltozásából adódik d) A mozgásjellemzők közötti kapcsolat: - Ismert: r = r (t ) . d r (t ) = v(t ) e , dt d v (t ) a (t ) = = ae (t ) e + an (t ) n . dt Meghatározandó: v (t ) = - Ismert: a = a (t ) és a v (t = t0 ) = v0 , r (t = t0 ) = r0 kezdeti

feltételek. t ∫ Meghatározandó: v (t ) = v0 + a (t ) dt , t0 t ∫ r (t ) = r0 + v (t ) dt . t0 - Ismert: v = v (t ) és az r (t0 ) = r0 kezdeti feltétel. Meghatározandó: a (t ) = d v (t ) = ae (t ) e + an (t ) n , dt t ∫ r (t ) = r0 + v (t ) dt . t0 10.2 Merev test mozgása a) Alapfogalmak: - Merev test sebességállapota: A testet alkotó pontok egy adott időpillanatbeli sebességeinek összessége (halmaza). - Merev test gyorsulásállapota: A testet alkotó pontok egy adott időpillanatbeli gyorsulásainak összessége (halmaza). - Merev test síkmozgása: A test pontjai egy adott alapsíkkal párhuzamos síkokban mozognak. 180 - Merev test haladó mozgása: A test önmagával párhuzamosan mozdul el. A test minden pontjának azonos az elmozdulása. - Merev test forgómozgása: A test pontjai a test két nyugalomban lévő pontját összekötő tengely, a forgástengely körül koncentrikus köríveken mozdulnak el. - Merev test elemi mozgása: A test

végtelenül rövid idő alatt bekövetkező (egy időpillanatban történő) mozgása. Tétel: Merev test bármely mozgása előállítható egy haladó és egy forgó mozgás összegeként. b) Merev test sebességállapota: Összefüggés a merev test két pontjának sebessége között. d ϕ × rAB drB dϕ × rAB drA dϕ A ⋅ rAB drA B A merev test végtelenül kis elmozdulását vizsgáljuk: - párhuzamos eltolás: drA , - szögelfordulás: dϕ (az elmozdulásoktól kettős nyíllal különböztetjük meg). A B pont elmozdulása: eltolás + szögelfordulás. drB = drA + dϕ × rAB . dϕ az egész merev testre jellemző mennyiség. Vegyük az összefüggés idő szerinti első deriváltját: drB drA dϕ = + × rAB . dt dt dt Elnevezések: drB = vB - a merev test B pontjának sebessége, dt drA = v A - a merev test A pontjának sebessége dt dϕ = ω - a merev test szögsebessége. dt Az ω az egész merev testre jellemző mennyiség. Mértékegysége: rad/s . vA ω

Az új jelölés figyelembevételével: vB = v A + ω × rAB . B rAB A Analógia (Statikából): M B = M B + F × rAB . vB Az vA , ω ismeretében a merev test bármely pontjának sebessége meghatározható. Tétel: merev test sebeségállapota egyértelműen megadható vA , ω redukált vektorkettőssel. Tétel: merev test két különböző pontjának sebesége általában nem egyenlő. Kivétel : - ω = 0 , - ω rAB . c) Elemi síkmozgás: Értelmezés: Ha a test bármely pontjának sebessége merőleges ω -ra, azaz párhuzamos az ω -ra merőleges síkokkal. 181 Sebességpólus: a síknak az a P pontja, amelynek zérus a sebessége - vP = 0 . Sebességábra: egy adott időpillanatban, egy közös kezdőpontból felmérjük a test jellemző pontjainak sebességvektorait. d) Merev test gyorsulásállapota: Összefüggés a merev test két pontjának gyorsulása között: ε ω dω - a merev test szöggyorsulása. dt Az ε az egész merev testre jellemző mennyiség.

ε= B aA rAB aB A Mértékegysége: rad/s 2 . A merev test tetszőleges B pontjának gyorsulása: aB = a A + ε × rAB + ω × (ω × rAB ) . Tétel: a merev test gyorsulásállapota az a A , ω és az ε mennyiségekkel adható meg egyértelműen. Síkmozgás esetén: aB = a A + ε × rAB − ω 2 rAB . Ha xy a mozgás síkja: ω = ω ez , ε = ε ez . Gyorsuláspólus: a síknak az a Q pontja melynek zérus a gyorsulása aQ = 0. Gyorsulásábra: egy adott időpillanatban, egy közös kezdőpontból felmérjük a test jellemző pontjainak gyorsulásvektorait. 10.3 Merev test kinetikája a) Merev test tömegeloszlásának jellemzői: - Tömeg: a merev test haladó mozgással szembeni tehetetlenségét (ellenállását) jellemzi. m= ∫ dm = ∫ ρ dV , (m) Mértékegysége: kg. (V ) ρ - tömegsűrűség, Mértékegysége: kg/m3 . - Statikai nyomaték: z Pontra számított statikai nyomaték: dm = ρ dV m SA = ∫ r dm = ∫ r ρ dV . (m) O x B ρ rAB (V )

Mértékegysége: kgm. Pontra számított statikai nyomaték átszámítása: r A y S B = S A − mrAB . - Tömegközéppont, súlypont: a testnek az a T, illetve S pontja, amelyre számított statikai nyomaték zérus. ST = S S = 0 . 182 A tömegközéppont helyének kiszámítása: ST = S A − mrAT ⇒ rAT =0 S = A= m ∫ r ρ dV (V ) ∫ ρ dV . (V ) Tétel: A T tömegközéppont és az S súlypont egybeesik, ha a g állandó. - Tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték: A tehetetlenségi (másodrendű) nyomaték a merev test forgó mozgással szembeni tehetetlenségét fejezi ki. z Az S ponti tehetlenségi tenzor: dm m S x ρ Diadikus előállítása: J S = ∫ ⎡⎣( ρ ) (m) E − ( ρ ρ ) ⎤⎦ dm . E - egységtenzor. z y 2 x y Mértékegysége: kgm 2 . ⎡ Jx ⎢ Mátrixos előállítása : ⎡⎣ J S ⎤⎦ = ⎢ − J yx ⎢ − J zx ⎣ − J xz ⎤ ⎥ − J yz ⎥ - szimmetrikus tenzor. J z ⎥⎦ − J zy A tengelyre számított

tehetetlenségi nyomatékok: J x - a testnek az x tengelyre számított tehetetlenségi ⎫ 2 2 J x = ∫ ( y + z )dm ⎪ nyomatéka, ⎪ (m) J y - a testnek az y tengelyre számított tehetetlenségi ⎪ J y = ∫ ( x 2 + z 2 )dm ⎬ > 0. nyomatéka, (m) ⎪ J z - a testnek az z tengelyre számított tehetetlenségi ⎪ J z = ∫ ( x 2 + y 2 )dm ⎪ nyomatéka. ( m) ⎭ − J xy Jy Síkpárra számított (centrifugális) tehetetlenségi nyomatékok: J xy = J yx - a testnek az yz - zx síkpárra számított tehetet⎫ x y dm ⎪ ∫ lenségi nyomatéka, ⎪ ⎧> ⎫ (m) J yz = J zy - a testnek az zx - xy síkpárra számított tehetet⎪⎪ ⎪ J yz = J zy = ∫ y z dm ⎬ ⎨= ⎬ 0. lenségi nyomatéka, ( m) ⎪ ⎪< ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ J zx = J xz - a testnek az xy - yz síkpárra számított tehetetJ xz = J zx = ∫ x z dm ⎪ lenségi nyomatéka. (m) ⎭ J xy = J yx = Tétel: a J S -ből az összes S ponti tengelyre és az összes S ponti síkpárra számított

tehetetlenségi nyomaték meghatározható. Jn = n ⋅ J S ⋅ n , − J nm = − J nm = n ⋅ J S ⋅ m = m ⋅ J S ⋅ n . 183 Steiner-tétel: ζ z rSA = xSA ex + ySA ey + zSA ez , m A két koordináta-rendszer tengelyei párhuzamosak: x ξ , y η, z ζ . x A tétel tenzor alakja: J A = J S + J SA . A tétel skalár alakja: 2 2 J ξ = J x + m( ySA + zSA ), J ξη = J xy + mxSA ySA , 2 2 Jη = J y + m( xSA + zSA ), Jηζ = J yz + m ySA zSA , 2 2 J ζ = J z + m( xSA + ySA ), J ξζ = J xz + mxSA zSA . ξ S η A rSA y Tétel: párhuzamos tengelyek közül az S ponton átmenő tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. b) Merev test impulzusa, impulzus nyomatéka: - Impulzus: z A x Értelmezés: I = dm S m v ∫ v dm = ∫ v ρ dV . ( m) (V ) m = Ns . s Kiszámítás: I = m vS . r Mértékegysége: kg y - Impulzus nyomaték (perdület): Értelmezés: π A = ∫ r × v dm . Mértékegység: kg (m) Kiszámítás: - Speciális

esetek: π S = J S ω , π P = J Pω , m2 = Ns m . s S – a merev test súlypontja, P – a pillanatnyi forgástengely egy pontja ( vP = 0 ). - Általános eset: π A = J Aω + rAS × v A m . - Összefüggés test két pontjára számított perdület között: π B = π A + I × rAB . Analógia a Statikából: M B = M A + F × rAB . c) Merev test kinetikai energiája: z dm ω vS x 184 Értelmezés: E = m S r v 1 v 2 dm . ∫ 2 (m) Mértékegysége: kg y m2 = Nm=J . s2 1 1 1 Kiszámítás: E = (vS ⋅ I + ω ⋅ π S ) = mvS2 + ω ⋅ J S ⋅ ω . 2 2 2 Kiszámítás speciális esetekben: -ω J S egyik tehetetlenségi főtengelyével. 1 1 E = mvS2 + J sω 2 . 2 2 J s - az S ponti, ω -val párhuzamos főtengelyre számított tehetetlenségi nyomaték. Ekkor ω ⋅ J S ⋅ ω = J sω 2 ⇒ - v A = 0 és ω J A egyik tehetetlenségifőtengelyével. 1 J aω 2 . 2 J a - az A ponti, ω -val párhuzamos főtengelyre számított tehetetlenségi nyomaték. Ekkor E

= d) Merev testre hat erőrendszer teljesítménye: - Az erőrendszer redukált vektorkettősét felhasználva: P = F ⋅ vS + M S ⋅ ω . n m i =1 j =1 P = ∑ Fi ⋅ vi + ∑ M j ⋅ ω j . - Az erőrendszert alkotó erőkkel és nyomatékokkal: vi az Fi erő támadáspontjának sebessége, ω j annak a merev testnek szögsebessége, amelyre az M j nyomaték hat. e) Merev testre ható erőrendszer munkája: t2 W12 = ∫ P dt . t1 A merev testre ható erőrendszer <t1,t2> időtartam alatt végzett munkája egyenlő az erőrendszer P teljesítményének t1 , t2 határok között vett idő szerinti integráljával. A munka nem egy időpillanathoz, hanem egy időtartamhoz kötött mennyiség. f) Impulzus tétel: i I = m aS = F A merev test impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható külső erők eredőjével. g) Perdület tétel: i - Speciális eset: az pontra: π S = M S , J S ⋅ε + ω ×πS = MS . A merev test S pontjára számított

perdületvektor idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható erőrendszernek a S súlypontra számított nyomatékával. ( ⋅ε + ω × ( J ) ⋅ω ) + r - Általános eset: az A pontra: J A ⋅ ε + ω × J A ⋅ ω + rAS × m a A = M A , JS S AS × m aS = M A . 185 h) Energia tétel, munka tétel: - Differenciális alak ≡ energiatétel: E=P. Merev test kinetikai energiájának idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható külső erőrendszer teljesítményével. - Integrál alak ≡ munkatétel: E2 − E1 = W12 . Merev test kinetikai energiájának megváltozása a test véges <t1,t2> időtartam alatt bekövetkező) mozgása során egyenlő a testre ható külső erőrendszer ugyanazon mozgás során végzett munkájával. j) Merev test kényszermozgása: Kényszermozgás: a merev test mozgását más testek előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozzák. Kényszer: az a test, amelyek az általunk vizsgált test mozgását előírt

geometriai feltételeknek megfelelően korlátozza. Tétel: a kényszererő (támasztóerő) a kényszer hatását teljes mértékben helyettesíti. A kényszererő a testek érintkezésnél lép fel. Sima kényszer: a kényszererő merőleges az érintkező felületekre. Érdes kényszer: a kényszererő normális és tangenciális koordinátája közötti a Coulombféle súrlódási törvény adja meg a kapcsolatot. Coulomb törvény: Ft = µ Fn , µ - a mozgásbeli súrlódási tényező. Ez az összefüggés akkor áll fent, ha az érintkező felületek (pontok) között relatív tangenciális elmozdulás lép fel. A kényszererő Ft tangenciális koordinátája olyan irányú, hogy igyekszik megakadályozni az érintkező felületek között létrejövő relatív tangenciális elmozdulást. 10.4 Példák tömegpontok és merev testek mozgására 10.41 feladat: Tömegpont síkmozgása Adott: Az r = r (t ) = b0 + b1 ( c − t 2 ) mozgásfüggvény a < t0 , t1 >

időintervallumban és b0 = (− ex + 2 e y ) m, b1 = ( 4 ex − 4 ey ) m/s 2 , t0 = 0 , t1 = 1,5 s, c = 2 s 2 . Feladat: a) A pályagörbe alakjának meghatározása. b) Az r0 = r (t0 ), r1 = r1 (t1 ) helyvektorok meghatározása. c) A v (t ) sebességfüggvény meghatározása. d) A < t0 , t1 > időintervallumra vonatkozó vk közepes sebesség meghatározása. e) Az a (t ) gyorsulásfüggvény meghatározása. Kidolgozás: a) A pályagörbe alakjának meghatározása: A pályagörbe r (t ) = r0 + c f (t ) alakú egyenes ( r0 = b0 és c = b1 ). 186 b) A tömegpont helyének meghatározása a t0 és t1 időpillanatban: A mozgásfüggvény: r = r (t ) = b0 + b1 ( c − t 2 ), r0 = r (t0 ) = b0 + b1 (c − t02 ) = ( − ex + 2 ey ) + ( 4 ex − 4 ey ) ( 2 − 0) = (7 ex − 6 e y ) m , r1 = r (t1 ) = b0 + b1 (c − t12 ) = ( − ex + 2 e y ) + ( 4 ex − 4 e y ) ( 2 −1,52 ) = (−2 ex + 3 ey ) m . c) A sebességfüggvény meghatározása: dr v = v (t ) = = − 2 b1 t =

(− 8 ex + 8 e y ) t , dt v0 = v (t0 ) = 0, v1 = v (t1 ) = ( −12 ex + 12 e y ) m/s. d) A közepes sebesség meghatározása: r − r (−2 ex + 3 ey ) − (7ex − 6e y ) ( − 9ex + 9e y ) vk = 1 0 = = = ( − 6 ex + 6 ey ) m/s. t1 − t0 1,5 1,5 e) A gyorsulásfüggvény meghatározása: dv a = a (t ) = = − 2 b1 = − 2( 4 ex − 4 ey ) = ( − 8 ex + 8 ey ) m/s 2 . dt 10.42 feladat: Tömegpont síkmozgása Adott: Az r = r (t ) = b t + ct 2 mozgásfüggvény a < t0 , t1 > idő intervallumban és b = (−3 ex − 4 e y ) m/s, c = ( 2 ex + 1,5 ey ) m/s 2 , t0 = 0 , t1 = 2 s. Feladat: a) A < t0 , t1 > idő intervallumra vonatkozó vk közepes sebesség meghatározása. b) A v (t ) sebességfüggvény és az a (t ) gyorsulásfüggvény meghatározása. c) A pályagörbe és a hodográf megrajzolása < t0 , t1 > idő intervallumra. Kidolgozás: a) A közepes sebesség meghatározása: r0 = r (t0 ) = 0, r1 = r (t1 ) = b t1 + c t12 = 2( − 3ex − 4 e y ) + 4( 2

ex + 1,5 ey ) = ( 2 ex − 2 e y ) m, vk = ∆ r01 r − r 2 ex − 2 ey = 1 0= = ( ex − e y ) m/s. ∆ t01 t1 − t0 2 b) A sebesség- és a gyorsulásfüggvény meghatározása: dr = b + 2 c t = (−3 ex − 4 e y ) + 2(2 ex + 1,5 e y ) t , A sebességfüggvény: v = v (t ) = dt v0 = v (t0 ) = ( − 3 ex − 4 ey ) m/s, v1 = v (t1 ) = b + 4 c = ( − 3 ex − 4 ey ) + (8 ex + 6 ey ) = (5 ex + 2 ey ) m/s. A gyorsulásfüggvény: a = a (t ) = dv = 2 c = ( 4 ex + 3 e y ) m/s 2 , a = állandó. dt c) A hodográf és a pályagörbe megrajzolása: Hodográf: A v = v (t ) függvény ábrázolása a v x , v y koordináta-rendszerben. 187 Hodográf Pályagörbe y [m] v y [ m/s ] 2 −2 v1 Ov v0 2 4 vx [ m/s ] A hodográf − os a 2 −2 P0 −2 4 2 x [m] v0 P2 gyorsulásvektorral −4 −2 v1 P1 −4 A pályagörbe szerkesztése: - A P0 és P1 pontokban a sebességvektorok a parabola érintői. - A P0 P1 szelő felezéspontját az érintők

metszéspontjával összekötő egyenes szakasz felezéspontja a parabola harmadik, P2 pontja. - A P2 parabola pontban a parabola érintője párhuzamos a P0 P1 szelővel. 10.43 feladat: Tömegpont ferde hajítása Adott: A tömegpont kezdeti helyzete és kezdősebessége: r0 = (50 ex + 10 ey ) m , v0 = 10 m/s , α = 30o , g =10 m/s 2 . Feladat: y [ m] A yA v0 α y0 B yB x0 xA xB x [m] a) Az t0 = 0 indítási helyzet mozgásjellemzőinek meghatározása. b) A pálya A ponti helyvektora és az A ponti sebességvektor meghatározása. c) A hajítás idejének és hosszának meghatározása. d) A pálya görbületi sugarának meghatározása a B becsapódási pontban. Kidolgozás: a) Az indítási helyzet ( t0 = 0 ) mozgásjellemzőinek meghatározása: a0 = a = g = állandó , 3 1 ex + 10 e y = (8,66 ex + 5 e y ) m/s , 2 2 r0 = x0 ex + y0 e y = (50 ex + 10 e y ) m. v0 = v0 cos α ex + v0 sin α ey = 10 b) A pálya A ponti helyvektora és az A ponti sebességvektor

meghatározása: 188 t A2 . 2 Az A ponti sebesség vízszintes irányú koordinátája: v A = v0 cos α = 5 3 = 8,66 m/s ⇒ v A = (8,66 ex ) m/s . v A = v0 + g t A , rA = r0 + v0 t A + g Az A ponti sebesség függőleges irányú koordinátája zérus: v sin α 10 ⋅ 0,5 = = 0,5 s . v A ⋅ e y = v Ay = 0 = v0 sin α − g t A ⇒ t A = 0 10 g Az A pont helyvektora: x A = x0 + v0 cos α t A = 50 + 8,66 ⋅ 0,5 = 54,33 m , t A2 = 10 + 5 ⋅ 0,5 − 5 ⋅ 0, 25 = 11, 25 m, 2 rA = (54,33 ex + 11, 25 ey ) m. y A = y0 + v0 sin α t A − g c) A hajítás idejének és hosszának meghatározása: t 2 vB = v0 + g t B , rB = r0 + v0 t B + g B . 2 A becsapódási hely függőleges koordinátája ismert: yB = 0 yB = 0 = y0 + v0 sin α t B − g t B2 , 2 0 = 10 + 5 t B − 5 t B2 . t B1 = −1 s − 5 ± 25 + 200 − 5 ± 15 tB = = = 10 −10 t B2 = 2 s ⎫ ⎬ ⇒ tB = 2 s, ⎭ mert a t B1 = −1 s megoldás fizikailag nem értelmezhető. A hajítás hossza: xB = x0 + v0 cos α

t B = 50 + 8,66 ⋅ 2 = 67,32 m, yB = 0, rB = xB ex + yB ey = ( 67,32 ex + 0 ey ) m. A mozgás hodográfja: Sebesség a B pontban: vB = v0 + g t B = (8,88 ex + 5 ey ) + (−10 ey ) 2 = (8,66 ex −15 ey ) m/s. v y [ m/s ] v0 vB = vB = vB2 x + vB2 y = 8,662 + 152 = 17,32 m/s. A becsapódás szöge: cos β = vB x vB = 8,66 = 0,5 17,32 vx [ m/s ] β ⇒ β = 60o. g tB vB d) A pálya görbületi sugarának meghatározása a becsapódási pontban: 189 B ρB an n an = vB2 ρB B = g cos β ⇒ n β ae vB e ρB = β β an g ae e vB2 17,322 = ≅ 59,996 m. g cos β 10 ⋅ 0,5 10.44 feladat: Merev test síkmozgása, sebességábra y ω A Adott: vA B 1m D x C 1m Az A, B, C, D pont helye az xy síkon. A mozgás síkja: x y . vA = ( 4 ex ) m/s , ω = ( − 1ez ) rad/s . 1m Feladat: a) A vB sebesség meghatározása. b) A sebességpólus megszerkesztése . c) A sebességábra megszerkesztése. Kidolgozás: a) A B pont sebességének meghatározása: vB

= vA + ω × rAB = ( 4 ex ) + ( −1ez ) × ( 2 ex ) = ( 4 ex − 2 ey ) m/s, vB = ( 4 ex − 2 ey ) m/s. b) A sebességpólus megszerkesztése: y A sebességpólus a sebességvektorokra merőleges egyenesek metszéspontja. A A P sebességpólust a helyzetábrába (abba az ábrába, amely a pontok helyzetét adja me) szerkesztjük meg. B vA B v B ⋅ x C vC ω P (sebességpólus) 190 c) A sebességábra megszerkesztése: [m/s] vy v A D′ vD P′ ≡ O v A′ vx [m/s] vC C′ vC A helyzetábra és a sebességábra hasonló. A sebességábra a helyzetábrához képest 90o -kal el van forgatva ω irányában. B′ vC = vD + ω × rDC ⎫ ⎪ ⊥ rDC ⎪ ⎬ vC = vB + ω × rBC ⎪ ⊥ rBC ⎪⎭ ⇒ vD = v A + ω × rAD ⎫ ⎪ ⊥ rAD ⎪ ⎬ vD = vB + ω × rBD ⎪ ⊥ rBD ⎪⎭ C ′, ⇒ D′. 10.45 feladat: Merev test síkmozgása, sebességábra y Adott: 2m A B ω 3m A merev test A, B, C, D pontja, a v A sebességvektor α hatásvonala, a

vB sebességvektor β hatásvonala és ω = (3 ez ) rad/s. α β x 45o C Feladat: a) A sebességpólus helyének meghatározása szerkesztéssel. b) A v A , v B sebességvektorok meghatározása. Kidolgozás: a) A P sebességpólus helyének meghatározása szerkesztéssel: y 2m B A 3m P 1m C ω Az A pontból ⊥ az α hatásvonalra A B pontból ⊥ a β hatásvonalra α β ⇓ P sebességpólus 45o x A P sebesség pólus helyvektora: rP = (1ey ) m . b) A v A , v B sebességvektorok meghatározása: v A = vP + ω × rPA = (3ez ) × (2ey ) = (−6ex ) m/s, =0 191 vB = vP + ω × rPB = (3ez ) × (2ex + 2ey ) = (−6ex + 6ey ) m/s. =0 10.46 feladat: Merev test síkmozgása, gyorsulásábra y C ε Adott: Az xy síkban síkmozgást végző test A, B,C pontja, a test a test szögsebessége, szöggyorsulása és az A pont gyorsulása. ω = ( − 3 ez ) rad/s, ε = (3 ez ) rad/s 2 , a A = (6 ey ) m/s 2 . 3m ω aA A Feladat: a) A B és C pontjának gyorsulásának

kiszámítása. b) A Q gyorsuláspólus helyvektorának meghatározása. c) A test gyorsulásábrájának megrajzolása. x 2m B Kidolgozás: a) A B és C ponti gyorsulásvektorok kiszámítása: aB = a A + ε × rAB − ω 2 rAB = (6 e y ) + (3 ez ) × (2 ex ) − 9( 2 ex ) = (−18 ex + 12ey ) m/s 2 , aC = a A + ε × rAC − ω 2 rAC = (6ey ) + (3 ez ) × (3ey ) − 9(3ey ) = (−9 ex − 21ey ) m/s 2 . b) A Q gyorsuláspólus helyvektorának meghatározása: aQ = 0 = a A + ε × rAQ − ω 2 rAQ , 0 = (6 ey ) + (3 ez ) × ( xAQ ex + y AQ ey ) − 9( xAQ ex + y AQ ey ). 0 = 6 ey + 3 xAQ ey − 3 y AQ ex − 9 xAQ ex − 9 y AQ ey , 0 = − 3 y AQ − 9 x AQ , y AQ = − 3 x AQ , / ⋅ex / ⋅ey 0 = 6 + 3 x AQ − 9 y AQ , ⇒ y AQ = − 3( −0,2) = 0,6 m. 0 = 6 + 3 x AQ − 9( −3 x AQ ) = 6 + 30 x AQ , x AQ = −0,2 m. rAQ = ( x AQ ex + y AQ e y ) = ( −0, 2 ex + 0, 6 e y ) m. c) A gyorsulásábra megrajzolása: tgϕ = ε 8 = = 0,5 ω 2 16 ⇒ ϕ = 26,56o. B

′′ A′′ aA aB O a ≡ Q ′′ A gyorsulásábra a helyzetábrához képest (π − ϕ ) szöggel (180o-26,56o)=153,44o-kal van elforgatva ε irányban. aC C ′′ d) A Q gyorsuláspólus a gyorsulás és a helyzetábra hasonlósága alapján szerkesztéssel határozható meg. 192 10.47 feladat: Merev test síkmozgása y S A B ω C R x D Adott: Az xy síkban síkmozgást végző, állandó ω szögsebességgel gördülő R sugarú merev test szögsebessége. ω = ( −1ez ) = állandó , R =1 m. Feladat: a) A P sebességpólus helyének, valamint az A, B, C és D pontok sebességvektorainak meghatározása. b) A Q gyorsuláspólus, valamint az A, B, C és D pontok gyorsulásának meghatározása. Kidolgozás: a) A P sebességpólus helyének, valamint az A, B, C és D pontok sebességvektorainak meghatározása: Tiszta gördülés: vD = 0 ⇒ P ≡ D . vS = vS ex = vD + ω × rDS = (ω ez ) × ( Re y ) = (−1ez ) × e y = (ex ) m/s , =0 vB = vD + ω × rDB

= ( ω ez ) × ( 2 R ey ) = (− ez ) × ( 2 ey ) = (2 ex ) m/s, =0 v A = vD + ω × rDA = ( ω ez ) × ( − R ex + R e y ) = − R ω ex − R ω e y = =0 = (vS ex + vS e y ) = (1ex + 1e y ) m/s , = vS = vS vC = vD + ω × rDC = ( ω ez ) × ( R ex + R e y ) = (vS ex − vS e y ) = ( ex − e y ) m/s . =0 b) A Q gyorsuláspólus, valamint az A, B, C és D pontok gyorsulásának meghatározása: vS = állandó ⇒ aS = 0 ⇒ aSe = 0 aSn = 0 . S ≡Q Az S pont a test Q gyorsuláspólusa. ω = állandó ⇒ ε = 0. a A = aS + ε × rSA − ω 2 rSA = −ω 2 (− R ex ) = (1ex ) m/s 2 , =0 =0 aD = aS + ε × rSP − ω 2 rSD = −ω 2 (− R ey ) = (ey ) m/s 2 , =0 =0 aB = aS + ε × rSB − ω 2 rSB = −ω 2 ( R ey ) = (−ey ) m/s 2 , =0 =0 aC = aS + ε × rSC − ω 2 rSC = −ω 2 ( R ex ) = (−1ex ) m/s 2 . =0 =0 193 10.48 feladat: Hasáb haladó mozgása y Adott: A haladó mozgást végző m tömegű hasáb, továbbá µ , β , F0 , G, vS . Feladat: A hasáb aS

gyorsulásának és a hasábra ható támasztó erőrendszer FK eredőjének meghatározása. F0 β vS S aS µ x G a) A feladat megoldása szerkesztéssel: Impulzus tétel: maS = F0 + G + FK . Fe Helyzetábra y ee β ea Vektorábra m aS e0 FK vS S G µ ρ eG ⋅ ρ Fe x F0 eK b) A feladat megoldása számítással: aS = aSx ex , FK = − µ FN ex + FN ey , F0 = F0 x ex + F0 y ey = F0 (cos β ex + sin β e y ) . Impulzus tétel : maS = F0 + G + FK , / ⋅ ex / ⋅ e y . 0 = F0 y − G + FN , ⇒ FN = G − F0 sin β . maSx = F0 x − µ FN , 1 aSx = ⎡⎣ F0 x − µ (G − F0 y ) ⎤⎦ . m 10.49 feladat: Tömegpont mozgása kényszerpályán F0 b vS y µ x g = 10 m/s2 , α = 30o , c = 1 m , b = 2 m , F0 = (200 ex − 100 ey N . c α 194 S Adott: Az érdes, α hajlásszögű felületen vS pillanatnyi sebességgel lefelé mozgó m tömegű hasáb. µ = 0, 25 ; vS = (−10 ex ) m/s , m = 40 kg , Feladat: A hasáb súlyponti gyorsulásának és

a hasábra ható kényszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása a) számítással és b) szerkesztéssel. Kidolgozás: a) A hasáb súlyponti gyorsulásának és a hasábra ható kényszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása számítással: F0 b vS S y µ h ρ c α G Impulzus tétel: m aS = ( G + F0 + FK ). ( m aS ex ) = (− m g sin α ex − m g cos α ey ) + x + ( F0 x ex + F0 y e y ) + ( µ FN ex + FN e y ) . ρ Az egyenletet skalárisan beszorozva először ey -al, majd ex -el: FK 0 = − m g cos α + F0 y + FN ⇒ FN = 346, 4 + 100 = 446, 4 N. m aS = − m g sin α + F0 x + µ FN ⇒ aS = 1 (− m g sin α + F0 x + µ FN ) m 1 (− 40 ⋅ 10 ⋅ 0,5 + 200 + 0,25 ⋅ 446, 4) = 2,91 m/s 2 . 40 A súlyponti gyorsulás: aS = (2,91ex ) m/s 2 . aS = A kényszererő: FK = ( µ FN ex + FN ey ) = (111,6 ex + 446, 4 ey ) N. A kényszererő hatásvonala a perdület- tételből: π s = M s , ⇒ h= c b 0 = − F0 x − F0 y + h FN , 2 2

c F0 x b F0 y 200 100 + = 0,5 + = 0, 448 m. 2 FN 2 FN 446, 4 446, 4 b) A feladat megoldása szerkesztéssel: m aS = (G + F0 + FK ). Fer Helyzetábra Vektorábra e0 h y ρ α eG . x S ea m aS eK ρ Fer G FK ρ F0 195 10.410 feladat: Henger gördülése kényszerpályán Adott: A sík kényszerpályán tiszta gördülő mozgást végző körhenger. aS = (8ex ) m/s 2 , g ≈10 m/s 2 , l AB = 2 m, R = 0,1 m, m = 30 kg. y C m aS S R µ0 Feladat: a) Az adott gyorsulás fenntartásához szükséges F0 = F0 ex erő meghatározása. F0 b) Az FK kényszererő meghatározása. c) A csúszásmentes gördülő mozgás megvalósításához szükséges µ0 min nyugvásbeli súrlódási tényező meghatározása. d) A hengerre ható erőrendszernek az l AB hosszon végzett W AB munkájának meghatározása. mg A B ρ0 FK x l AB Kidolgozás: A hengerre ható kényszererő (támasztóerő): FK = FT ex + FN ey . A henger szöggyorsulása: ε = − ε ez = − aS

8 ez = − ez = (−80 ez ) 1/s 2 . R 0,1 a) Az F0 erő meghatározása: y Perdület tétel az A pontra: C m µ0 =MA, J aε = M A , mert a tehetetlenségi főtengely. B ρ0 ω ×π A = 0, (ω π A ) mg A FK J Aε + aS S R πA =MA , F0 − ( J aε ez ) = (− F0 ⋅ 2 R ez ) / ⋅ ez 3 2 J a ε 2 mR ε 1,5 ⋅ 30 ⋅ 0,12 ⋅ 80 F0 = = = =180 N. 2 ⋅ 0,1 2R 2R x l AB b)Az FK kényszererő (támasztóerő) meghatározása: Impulzus tétel: m aS = F . ⇒ maS = F0 + G + FK . ( F0 ex − m g ey + FT ex + FN ey ) = m aS ex / ⋅ ex / ⋅ey F0 + FT = m aS , −m g + FN = 0, FT = maS − F0 = 30 ⋅ 8 − 180 = 60 N, FN = m g = 30 ⋅ 10 = 300 N. FK = FT ex + FN ey = (60 ex + 300ey ) N. 196 Ellenőrzés: perdület tétel a henger S ponti tengelyére: J sε = M S , ⇒ − J s ε ez = (− F0 R ez ) + ( FS R ez ) / ⋅ ez 1 mR 2 ε Js ε 0,5 ⋅ 30 ⋅ 0,12 ⋅ 80 FT = F0 − = F0 − 2 = 180 − = 60 N. R R 0,1 c) A csúszásmentes gördüléshez

szükséges minimális nyugvásbeli súrlódási tényező: µ0 min = FT FN = 60 = 0, 2. 300 d) Az l AB szakaszon végzett munka: tB tB tA tA WAB = ∫ P dt = ∫ ( F0 ⋅ vC + G ⋅ vS + FK ⋅ v A ) dt = =0 =0 tB ∫F 0 ⋅ 2vS dt = 2 F0 l AB = 2 ⋅ 180 ⋅ 2 = 720 J. tA 10.411 feladat: Merev testre ható erőrendszer teljesítménye Adott: Az R sugarú, G súlyú homogén henger β hajlásszögű lejtőn gördül. A henger súlypontjának pillanatnyi sebessége vS . F1 B M2 S y vS R G = 100 N , vS = (2 ex ) m/s , M 2 = ( 20 ez ) Nm , x β = 30o , R = 0,5 m , F1 = ( 60 ex + 20 ey ) N. Feladat: A G súlyerő PG , az F1 erő PF1 , az M 2 nyo- A β G maték nyomaték PM 2 és az FA támasztóerő PFA teljesítményének kiszámítása. Kidolgozás: PG = G ⋅ vS = ( −G sin β ex − G cos β ey ) ⋅ ( vS ex ) = −G sin β vS = −100 ⋅ 0,5 ⋅ 2 = − 100 W , PF1 = F1 ⋅ vB = F1 ⋅ 2vS = ( 60 ex + 20 ey ) ⋅ ( 4 ex ) = 240 W , ⎛ 2 ⎞ ⎛ v ⎞ PM

2 = M 2 ⋅ ω = M 2 ⋅ ⎜ − S ez ⎟ = ( 20ez ) ⋅ ⎜ − ez ⎟ = − 20 ⋅ 4 = −80 W , ⎝ R ⎠ ⎝ 0,5 ⎠ PFA = FA ⋅ vA = 0. =0 197 10.412 feladat: Rögzített tengely körüli forgómozgás Adott: ω 1 = 3 rad/s , m = 40 kg , ω1 l = 1 m , ϑ = 60o . l y (1) S ϑ A n mg g ≈ 10 m/s 2 , e x (2) ω2 Feladat: a) A súlypont aS 1 gyor-sulásának és az FA1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzet-ben. b) A (2) helyzetbeli ω2 szögsebesség meghatározása. c) A súlypont aS 2 gyorsulásának és az FA 2 támasztóerőnek a meghatározása a (2) jelű helyzetben. Kidolgozás: a) A súlypont aS 1 gyorsulásának és az FA1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben: - A súlyponti gyorsulás meghatározása: Perdület tétel az A pontra: J Aε + ω × ( J Aω ) + rAs × m a A = M A ε ω / ⋅ ez . =0 A z tengely (a tengely) tehetetlenségi főtengely, ezért: l l 2 ml 2 ml 2 Ja = Js + m = J aε1 = M a = −

cosϑ ⋅ mg , , Js = , 2 4 3 12 ml2 l ε1 = − cosϑ ⋅ m g , 3 2 3 g cosϑ ε1 = − = −7,5 1/s 2 , 2 l l l aS 1e = −ε1 = 3,75 m/s 2 , aS 1n = ω 12 = 4,5 m/s 2 , 2 2 3 g cosϑ l 2 aS 1 = aS 1e e + aS 1n n = + e + ω 1 n = (3,75e + 4,5n ) m/s 2 . 2 l 2 - A támasztóerő meghatározása: Impulzus tétel: maS 1 = mg + FA1 /⋅ e /⋅ n maS 1e = mg cosϑ + FA1e ⇒ FA1e = −50 N , maS 1n = mg sin ϑ + FA1n ⇒ FA1n = −16,64 N . FA1 = (−50e − 16,64n ) N . b) A (2) helyzetbeli ω2 szögsebesség meghatározása: Munkatétel: E2 − E1 = W12 = F ⋅ ∆r = G ⋅ ∆rS + FA ⋅∆rA , 0 198 1 l ml 2 J a (ω22 − ω12 ) = mg ⋅ sin ϑ + 0 , J a = . 2 2 3 2mg l 3 g sin ϑ sin ϑ = ω 12 + ω22 = ω 12 + , Ja 2 l ω2 = 5,91 1/s , ω2 = (−5,91ez ) rad/s . c) A súlypont aS 2 gyorsulásának és az FA 2 támasztóerőnek a meg-határozása a (2) jelű helyzetben: l Perdület tétel az a tengelyre: J aε 2 = − mg , 2 3 l 3g ε 2 = − 2 m g = − = −15 1/s 2 . 2l 2

ml l l aS 2 = (−ε 2 e + ω22 n ) = (7,5e + 17, 46n ) m/s 2 . 2 2 Impulzus tétel: maS 2 = mg + FA 2 /⋅ e / ⋅ n , l 3g ⎛ 3g ⎞ = mg + FA 2 e , FA 2 e = ⎜ − g ⎟ m = −100 N . 2 2l 4 ⎝ ⎠ l 2 l 2 m ω2 = 0 + FA 2 n , FA 2 n = m ω2 = 699,6 N . 2 2 FA 2 = (−100e + 699,6n ) N . m 10.413 feladat: Fizikai inga y A (1) helyzet l m α n S x e (2) helyzet mg Adott: Az m tömegű, l hosszúságú prizmatikus rúd, amely az A pont körül a függőleges síkban végez forgómozgást. Az α szöggel meghatározott (1) jelű helyzetben a rúd S pontjának sebessége zérus. α = 30o , g ≈ 10 m/s 2 , m = 2 kg , l = 2 m. Feladat: a) A rúd S pontja aS 1 gyorsulásának és az FA1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben. b) A rúd S pontja aS 2 gyorsulás át és az FA 2 támasztóerőnek , valamint az ω2 szögsebességének a meghatározása a (2) jelű helyzetben. Kidolgozás: a) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása az

indítási, (1) jelű helyzetben: Az A ponti kényszererő: FA1 = ( FA1e e + FA1n n ) , az S pont gyorsulása aS 1 = (aS 1e e + aS 1n n ) , A rúd szöggyorsulása ε1 = (ε1 k ) , rúd szögsebessége ω1 = ( ω1 k ) = 0. Az A pontra felírt perdület tétel: π A1 = M A1 . J Aε1 + ω1 × π A1 = M A1 . = 0, mert ω1 π A1 199 (1) helyzet y A n α l m FA1n x FA1e aS 1n S aS 1e e mg ε1 J aε1 = M A1 , l J aε1 e = m g sin α ez / ⋅ ez 2 l J aε1 = m g sin α . 2 m g sin α l m g sin α l m g sin α l 3 g sin α . ε1 = = = = 2 2 Ja ⎡ ⎛ l ⎞ ⎤ 2 ⎛ 1 ml 2 ⎞ 2 l ⎜ ⎟ 2 ⎢JS + m⎜ ⎟ ⎥ ⎝3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 3 10 ε1 = ⋅ 0,5 = 3,75 rad/s 2 ⇒ ε1 = (3,75 ez ) rad/s 2 . 2 2 A súlyponti gyorsulás: aS 1 = ( aS 1e e + aS 1n n ). l ⇒ aS 1e = (3,75 e ) m/s 2 , aS 1e = ε1 =1 ⋅ 3,75 = 3,75 m/s 2 2 2 v2 l ⇒ aS 1n = S 1 = ω12 =1 ⋅ 02 = 0 aS 1n = 0, 2 l aS 1 = (3,75 e ) m/s 2 . Impulzus tétel: m aS 1 = ( FA1 + G ), ( m aS 1e e + m aS

1n n ) = ( FA1e e + FA1n n ) + (m g sin α e − m g cos α n ) / ⋅ e / ⋅n m aS 1e = FA1e + m g sin α 0 , FA1e = m ( aS 1e − g sin α ) = 2 ⋅ (3,75 − 10 ⋅ 0,5) = − 2,5 N, m aS 1n = FA1n − m g cos α , FA1n = m ( g cos α + aS 1n ) = 2 ⋅ 10 ⋅ 0,866 =17,3 N. =0 FA1 = (−2,5 e + 17,3 n ) N. b) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása a függőleges, (2) jelű helyzetben: Munkatétel: E2 − E1 =W12 . 1 1 l J aω22 − J a ω12 = m g (1 − cos α ), 2 2 2 =0 1 l J aω22 = m g (1 − cos α ), 2 2 m g l (1 − cos α ) 3 g 3 ⋅ 10(1 − 0,866) ω22 = (1 − cos α ) = = = 2,01 , 1 2 2 l ml 3 ω2 = 2,01 =1, 417 rad/s. Az A pontra felírt perdület tétel: π A 2 = M A 2 . 200 J Aε 2 + ω2 × π A = M A2 , ⇒ 2 = 0, mert ω2 π A 2 ε 2 = 0. =0 A súlyponti gyorsulás: aS 2 = (aS 2 e e + aS 2 n n ). l aS 2 e = ε 2 = 0 . 2 2 v2 l aS 2 n = S 2 = ω22 =1 ⋅1, 417 2 = 2,01 ⇒ aS 2 n = (2,01n ), l 2 aS2 = ( 2,01n ) m/s 2 Impulzus

tétel: m aS 2 = ( FA2 + G ), ( m aS 2 e e + m aS 2 n n ) = ( FA 2 e e + FA2 n n ) + (− m g n ), / ⋅ e /⋅ n m aS 2 e = FA 2 e , m aS 2 n = FA2 n − m g , FA 2 e = m aS 2 e = 0. =0 FA 2 n = m ( g + aS 2 e ) = 2(10 + 2,01) = 24,02 N. FA 2 = ( 24,02 n ) N. 201