Fizika | Lézerek » A rezonátor fizikai optikai leírása

A rezonátor fizikai optikai leírása A rezonátor működéséről a geometriai optika csak hiányos képet ad, a sugárkövetésből csak a rezonátor stabilitásáról és geometriai feltételeiről lehet következtetést levonni, de a diffrakció hatása, amely alapjában megkülönbözteti a fizikai optikát a geometriai optikától, a rezonátor működése szempontjából is igen jelentős. A rezonátor geometriáját is befolyásolja a difrakció, pl. a tükrök apertúrájának (a z tengelytől mért transzverzális – x és y irányú – kiterjedésének) megválasztását is meghatározza: a diffrakció hatására a fény egy része akkor is kilép a rezonátorból, ha a sugárkövetés szerint a sugarak örökre bent maradnak. Ez a kilépő rész jelentős is lehet adott geometria és lézerfelépítés esetén. Ezen túlmenően a fizikai optikai leírás olyan tulajdonságait is leírhatja a rezonátornak, amelyek sugároptikával csak nagyon közelítőleg vagy

egyáltalán nem leírhatók: pl. a lézerből kilépő nyaláb megfigyelhető, szembeötlő tulajdonságait, a nagyon kis divergenciát (sugároptikával ez nem leírható, mert ott egyenes sugarak terjedésével a nyalábméret növekedése is lineáris) és a véges (nem végtelenül kicsi) fókuszfolt-méretet. A fizikai optika kiindulási pontja a hullámegyenlet, és fizikai megközelítése az elektromágneses hullám, amely matematikailag egy háromdimenziós elektromos ill. mágneses térerősség-eloszlás terjedését írja le. A térerősség eloszlás kiszámításához a Maxwell egyenletet kell megoldani az adott körülményekre a három tér és egy idődimenzió függvényében. A fény hullámtermészetét kihasználva, azaz, hogy a megoldást egy időben periodikus elektromágneses hullám alakjában keressük, kapjuk az időfüggetlen hullámegyenletet és a hullámfüggvény időfüggését: ∇ 2 E ( x, y, z ) + k 2 ⋅ E ( x, y, z ) = 0 , hullámegyenlet Ε(x, y,

z , t ) = E ( x, y, z ) ⋅ e − jωt a tér időfüggése, ahol k = ω . c A térerősség-eloszlás térfüggését valamilyen kitűntetett tengely mentén terjedő, arra merőleges, kétdimenziós térerősség-eloszlásként írjuk fel matematikailag, megkülönböztetve a terjedés irányát és a rá merőleges irányokat, ahogyan a terjedő elektromágneses hullám fizikai képéből következik. Bevezetve a transzverzális térkoordináták szerinti differenciál-operátort az egyenlet ∂ 2 E ( x, y , z ) ∇ t2 E ( x, y, z ) + + k 2 E ( x, y , z ) = 0 . ∂z 2 A térerősség eloszlást ennek megfelelően egy transzverzális, de z-től is függő Ψ téreloszlás és egy z irányú haladó hullámú komponens szorzataként keressük: E ( x, y, z ) = E0 ⋅ Ψ ( x, y, z ) ⋅ e − jkz . Ezt az egyenletbe visszahelyettesítve csak a térerősségeloszlásra kapunk egyenletet: ∂ 2 Ψ ( x, y , z ) ∂ 2 ∇ t Ψ ( x, y , z ) + − 2 jk Ψ ( x, y, z ) = 0 . 2 ∂z ∂z Ahogy a

megoldást és az egyenletet egyre jobban közelítjük egy kis divergenciájú, kísérletileg megfigyelt lézernyaláb képéhez, egyre inkább a kísérletekhez igazítjuk a matematikai függvényeket, annál több közelítést teszünk a megfigyelés alapján. A kis divergenciából, és abból, hogy a lézernyaláb teljesítménye leginkább a tengely mentén koncentrálódik arra következtethetünk, hogy a nyaláb csak kevéssé tágul, érvényes a paraxiális közelítés: ∂ 2Ψ ∂Ψ << 2k ⋅ . 2 ∂z ∂z Ez egyenértékű azzal, hogy ugyanezt a nyalábot csak a tengellyel lis szöget bezáró sugarakból rakjuk össze a geometriai optikai leírásban. Végeredményként egy z irányban periodikus hullámként terjedő, változó transzverzális térerősségeloszlású, de kis divergenciájú és a 1 tengely mentén koncentrált energiájú elektromágneses hullámra vonatkozó egyenletet, a Fresnel egyenletet kapjuk: ∂ ∇ t2 Ψ ( x, y, z ) − 2 jk Ψ (

x, y, z ) = 0 ∂z Az egyenlet megoldásának során olyan próbafüggvényből indulunk ki, amelyet eleve az empirikus tapasztalatainkhoz igazítottunk és leírja a lézerekből származó és a lézeren belül az elektromágneses hullám megfigyelt viselkedését: - kielégíti a rezonátor geometriai feltételeit - fókuszálva egy végtelen kis pont helyett egy véges méretű foltba koncentrálódik, és a fókuszsíkban a hullámfront sík, miután a nyaláb addig konvergens volt és azután divergens, tehát a fázisfront görbületi sugara a fókuszsíkban előjelet vált, vagyis zérushelye vagy pólusa (aszimptotája) van - a fázisfront görbülete általánosan gömbhullámszerű, különösen a fókuszsíktól nagy távolságra közelíti jól a gömbhullámot - a nyaláb divergenciája kicsi, nem lehet sem síkhullám, sem valódi gömbhullám, bár ezek is megoldásai az egyenletnek - az egyes transzverzális síkokban az energia eloszlása a tengely környékére

koncentrálódik, alapesetben Gauss függvényt követ. A fenti megfigyelések alapján keressük a Fresnel egyenletet kielégítő matematikai függvényt. Alapesetben nincs kitűntetett tengelyre merőleges irány, hengerszimmetrikus megoldást keresünk. A hengerszimmetrikus Fresnel egyenlet hengerkoordinátákkal, a hengerszimmetria miatt a Φ fázisszögtől való függést elhanyagolva: 1 ∂  ∂Ψ (r , Φ, z )  ∂Ψ (r , Φ, z ) =0 r ⋅  − 2 jk ⋅ r ∂r  ∂r ∂z  A fenti feltételeket kielégítő matematikai függvény alakjában felbonthatjuk a megoldást egy longitudinális z-től függő és egy transzverzális tagra, a transzverzális tag valós része Gauss alakú (exp(-(r2)/w2) a feltételekből, a transzverzális fázistagból pedig a fázisfront görbületére lehet következtetni. A megoldás alakja:  kr 2   Ψ (r , Φ, z ) = Ψ0 ⋅ exp(− jP ( z )) ⋅ exp − j 2q( z )   Visszahelyettesítve a hullámegyenletbe a

következő alakot kapjuk:  k2  j   = 0 Ψ (r , Φ, z ) ⋅  2 (q ( z ) − 1)⋅ r 2 − 2k ⋅  P ( z ) + q ( z )     q (z ) Ez az egyenlet miden r értékre csak akkor teljesül, ha a két zárójel tartalma külön-külön 0: j q ( z ) − 1 = 0 és P ( z ) + =0. q( z ) Az első egyenlet megoldása egyszerűbb, integrálva egyszerűen egy lineáris függvényt kapunk: q( z ) = z + konst Ezen egyszerű egyenletben a konstans kifejezésére egy a Gauss nyaláb matematikai leírására nagyon jellemző trükköt alkalmazunk: a koordinátarendszert rögzítjük a nyalábhoz és nem a nyalábot a koordinátarendszerhez. Természetesen a nyaláb alakja tetszőleges koordinátarendszerbe átszámolható, de a matematikai alak elbonyolódik: nagyon szép és egyszerű marad viszont a képlet, ha kikötjük, hogy a z tengely origója a leírásban mindig a nyalábnyak helyén legyen, azaz abban a transzverzális síkban, amelyben a legkisebb

a nyaláb mérete. Ez a megfigyelések szerint egy kitűntetett sík, mert 2 itt a fázisfront is sík, tehát a fázis a teljes síkban ugyanaz, r-től független. Ez csak úgy lehetséges, ha a q(0) képzetes és ezáltal az exp(-jkr2/2q(0)) teljesen valós. A feltétel tehát konst = jz R . A trükkel, hogy a z tengely origóját mindig a nyalábnyak helyére rögzítettük a gyakorlatban azt értük el, hogy egy optikai elem, pl. egy lencse hatását, amelyik a tőle balra levő Gauss nyalábot egy adott nyalábnyakkal és relatív nyalábnyak helyzettel egy tőle jobbra levő Gauss nyalábba képez le, adott nyalábnyak helyzettel, gyakorlatilag koordináta transzformációval írjuk le, azaz, mikor az elemtől jobbra levő nyalábrész matematikai alakját írjuk fel, az új nyalábnyakba tolt z tengely origóval kell számolnunk. A megoldáshoz megvan tehát a q(z) függvénye:  z   zR  1 1 1 2  − j  2 = = =  2 −j 2 2  2  q ( z ) z +

jz R  z + z R   z + z R  R( z ) kw ( z ) Az 1/q(z) valós része határozza meg a komplex fázistagot: exp(-jkr2Re(q(z))/2), míg a képzetes rész a valós térerősség-eloszlást. Miután kikötöttük, hogy ez utóbbi Gauss alakú kell legyen:  r2   jkr 2  exp − 2  = exp − ⋅ Im(q ( z ))  , a képzetes részt 2  w    2 2 megfelelően átírva az exp(-r /w(z) ) alakot kapjuk. Ehhez z 2 = 2 R 2 , azaz a nyaláb Gauss sugara a z függvényében: 2 kw ( z ) z + z R 2zR  z 2  1 +  . k  z R2  Ez az egyenlet a nyaláb méretének változását írja le a z tengely menti terjedés során, miközben a térerősség-eloszlás transzverzális függvénye változatlanul Gauss. A nyalábnyakban sugár: 2zR w0 = . Miután a w0 a Gauss nyalábban egyik legjobban mérhető fizikai mennyiség, k általában ezt ismerjük, és belőle számoljuk a Rayleigh konstanst: πw 2 z R = 0 , ahol λ a hullámhossz. λ

Másik kísérleti megfigyelés szerint a nyaláb fázisfrontja a nyalábnyaktól eltérő pozícióban a gömbhullámot közelíti. Megkapjuk-e ezt a transzverzális fázistag z- függéséből:  kr 2  ? exp − j 2 R( z )   Ha egy gömbhullámot közelítünk nagy z koordináták esetén:    1 − jkR 1 − jk r 2 + z 2 1 r2 r4 e = e ≈ exp − jk  z + + 3 + .   R R z 2 z 8z    Taylor sorba fejthetjük a sugár kifejezését a transzverzális koordináta ® szerint. Elég nagy z-re, pontosabban akkor, amikor a magasabb rendű tagok elhanyagolhatók a sorfejtésből és z ≈ r is alkalmazható, az r2 R≅ z+ közelítés érvényes, és a gömbhullám fázistagja a Gauss nyaláb fázistagjához 2R hasonló formát ölti, a P(z) fázistagtól eltekintve: w( z ) = 3 − jkz − jk r2 2R e ⋅e De a P(z) csak z-től függ, így a Gauss nyaláb transzverzális fáziseloszlása megfelel egy R(z) sugarú

gömbhullámnak, ha a fenti közelítések érvényesek. A fázisfront R(z) görbületi sugarát a q(z) függvény megfelelő tagjából kapjuk, és megfigyelhető, hogy znek erős függvénye:   z 2  R( z ) = z 1 +    .   zR     A q(z) értelmezése után kiszámíthatjuk a P(z) tagot is. Integrálva a megfelelő egyenletet kapjuk: jP ( z ) = ln( z + jz R ) + C De az origó a nyalábnyak helyével esik egybe, ezért kiköthetjük, hogy a P(z) étéke ott legyen 0, tehát z jP ( z ) = ln(1 − j ) . zR Visszahelyettesítve az eredeti Ψ megoldás-függvénybe és alkalmazva a komplex számok trigonometriai alakját:   z  1 e − jP ( Z ) = exp j arctan   2  zR    z  1 +    zR  De a w(z) egyenlete alapján megfigyelhetjük, hogy a nevezőben levő tag éppen w(z)/w0. Ebből a P(z)-t tartalmazó tag végső alakja:   z  w e − jP ( Z ) = 0 exp j

arctan   w( z )  zR   Az arctan(z/zR) longitudinális fázistagot Guoy féle fáziseltolásnak nevezzük, és gyakorlatilag az ugyanazon origójú síkhullámhoz vagy gömbhullámhoz képest egy kis longitudinális fázisfront eltolódást ír le, amely növekszik, ha a nyalábnyaktól távolodunk. Azaz nagy z-re a fázisfrontok egyre inkább eltolódnak az ugyanonnan induló gömbhullám burkolóitól. E longitudinális fázistag gyakorlati jelentősége kicsi Annál nagyobb jelentősége van a w0/w(z) amplitúdótagnak, amely gyakorlatilag az energiamegmaradást biztosítja a nyaláb terjedése során. Miután a transzverzális eloszlás jellege e terjedés során mindig Gauss, és a nyaláb sugara növekvő z-vel növekszik, a teljes szállított energia úgy maradhat állandó, hogy az eloszlás amplitúdója a tengely mentén csökken: E(z)= E0*w0/w(z). A teljes szállított teljesítmény: 2 1 2  πw  P = ε 0 cE0  0  . 2  2 

Hasonlítsuk össze a kísérleti eredményekkel a nyaláb divergenciáját: gyakorlatilag a távoltérben, elég nagy z-k esetén a w(z) sugár a z-vel lineárisan nő, a nyaláb tágulása aszimptotikusan tart egy a z tengellyel θ/2 szöget bezáró egyeneshez:  z2  λz z w( z ) = w0 1 + 2  ≅ w0 = . z R πw0  zR  4 A képletből rögtön látszik, hogy a Rayleigh konstans az a z távolság, amelyen a nyaláb felülete πw2 megduplázódik. Az egyenes, amelyhez a nyaláb széttartása a távoltérben tart, θ/2 szöget zár be a z tengellyel, θ a nyaláb divergenciája: 2λ θ= . πw0 A kísérleti megfigyelésekkel való összevetést, miszerint a Gauss nyaláb extrém kis divergenciájú, az bizonyítja matematikailag, ha összehasonlítjuk más alakú apertúrákból, más térerősség-eloszlásnak megfelelő diffrakció limitált nyalábok terjedésének divergenciáját. A sugarú kör-apertúra esetén, a belépő nyaláb síkhullám, a kilépő

divergenciája: 1.22λ θ kör = a 2a szélességű téglalap alakú rés diffrakciójának divergencia-szöge: 1.0 ⋅ λ θ rés = . Láthatóan ezek közül a Gauss nyaláb divergenciája a legkisebb, de a bebizonyítható, hogy minden ilyen diffrakció limitált nyaláb közül a Gauss a legkisebb divergenciájú. Vizsgáljuk meg annak a feltételét, hogy a Gauss nyaláb gömbtükrökből alkotott rezonátor sajátmódusa legyen. Fizikai elképzelésünk szerint a két konvex (de lehet konkáv is) gömbtükrön a Gauss nyaláb fázisfrontja éppen illeszkedik, és így, ha a két gömbtükör ellentétes görbületű, a nyalábnyak a kettő közé esik, a rezonátor belsejébe. Az a Gauss nyaláb lesz módus, amelynek fázisfrontja illeszkedik a tükrök görbületéhez, és teljesíti a geometriai feltételeket. Láttuk, hogy a Gauss nyaláb fázisfront-felületei csak közelítik a gömböt, elegendően nagy z esetén. Az első következtetés ezért, hogy a két tükör nem

lehet bármilyen közel egymáshoz. Hogy a gömbfelület közelítés jó legyen a sugár sorfejtéséből elhanyagolt tagoknak a hullámhossznál kisebbnek kell lenniük, azaz r4 << λ 8z 3 Ez azt jelenti, a rezonátor geometriai méretének nyelvére lefordítva, hogy a tükrök apertúrájának sugara, a ( a ≅ r ) és a rezonátor hosszúsága, d, ( d ≅ z ) között adott hullámhosszon fennáll a következő összefüggés: a2 d2 << 2 . λd a Itt az egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezést Fresnel számnak nevezzük, értéke a rezonátor geometriai jellemzőit és a működési hullámhosszt egymás viszonyában jellemzi. A geometriai viszonyokra felírható még egy feltétel, miszerint a tükrök apertúráját nem vehetjük túl kicsinek azért, hogy a diffrakció következtében a nyaláb jelentős teljesítménye ne lépjen ki a rezonátorból, másképpen a rezonátor a/d nyílásszöge nagyobb legyen egy tetszőleges Gauss módus távoltéri,

diffrakció limitált divergenciájánál, λ/a-nál. Azaz: λ a << , Fresnel számra NF>>1. a d A rezonátor geometriájára adott hullámhosszon felírt feltétel tehát magában foglalja a divergencia okozta veszteségek kis szinten tartását és a távoltéri (paraxiális) feltételek teljesülését a tükrökön. A rezonátor nem állhat sem túl kis apertúrájú tükrökből, sem túl 5 közel álló tükrökből, vagy ha igen, akkor arányosan csökkennie kell a méreteknek, de a hullámhosszhoz való meghatározott aránynál sem szabad kisebbet választani: d2 1< NF < 2 . a Ezek után a fázisfrontok sugarainak illesztéséből, a megfelelő koordinátarendszert és előjeleket helyesen figyelembe véve írhatjuk fel az illesztési feltételeket a gauss matematikai függvényére. Konvex tükrök esetén a nyalábnyak a rezonátoron belül van, és a Gauss nyaláb korrekt felírásához itt kell legyen a z origója is. A 2-es tükör z2 pozitív

koordinátájú síkban metszi a tengelyt, az 1-es tükör a z1 negatív koordinátán. Ebből:: : z 2 − z1 = d A fázisfront sugarának illesztése a 2-es tükrön, b2:   z 2  z 2 1 +  R   = b2 , ugyanígy a b1 sugarú tükrön, figyelembe véve, hogy ez a tengellyel   z2     szemben áll, ezért sugara negatív:   z 2  z1 1 +  R   = −b1   z1     Az egyenletrendszerből z1, z2, és zR meghatározható: d (b2 − d ) z1 = b1 + b2 − 2d d (b1 − d ) z2 = b1 + b2 − 2d d (b2 − d )(b1 − d )(b1 + b2 − d ) (b1 + b2 − 2d ) 2 A zr-ből a nyalábnyak mérete is meghatározható, bevezetve a korábban már használt g1 és g2 geometriai paramétereket: g1 g 2 (1 − g1 g 2 ) λd 4 w0 = w. π ( g1 + g 2 − 2 g1 g 2 ) 2 Ez a függvény csak akkor lesz valós, ha a gyök alatti mennyiség pozitív, azaz 0 ≤ g1 g 2 ≤ 1 Ez ugyanaz a stabilitási feltétel, amelyet egy teljesen más

meggondolással, a geometriai optikai sugárvezetéssel kaptunk. Azaz egy rezonátornak csak akkor lesz valós stabil Gauss módusa, ha a geometriai feltételek teljesülnek. A határeset, amikor w0=0, az egyik stabilitási határnak felel meg, ekkor a foltméret mindkét tükrön végtelen, ami nem lehetséges, tehát a stabilitási határon működő rezonátornak sem lehet Gauss módusa. zR = 6